- 数学Ⅰ｜２次関数「2次関数とx軸との交点の位置」の基本例題解説ページです。
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問題｜2次関数とx軸との交点の位置
２次関数 512次関数 \(y=x^2-2mx-m+6\) のグラフと \(x\) 軸の正の部分が異なる \(2\) 点で交わるとき、定数 \(m\) の範囲の求め方は？また、2次方程式 \(x^2-2mx-m+6=0\) が異なる \(2\) つの負の解をもつ、または、正の解と負の解を \(1\) つずつもつとき、定数 \(m\) の範囲の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
2次関数とx軸との交点の位置
Point：2次関数とx軸との交点の位置
※ 2次方程式の \(2\) つの解の正負
■ \(x\) 軸の正の部分で \(2\) 点で交わる場合
※ 2次方程式が異なる \(2\) つの正の解をもつ。
\(\small [\,1\,]\) \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる \(D \gt 0\)
\(\small [\,2\,]\) 軸が \(0\) より大きい \(x=p \gt 0\)
\(\small [\,3\,]\) \(y\) 軸との交点が正 \(C \gt 0\)
※ 2次方程式が異なる \(2\) つの負の解をもつ。
\(\small [\,1\,]\) \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる \(D \gt 0\)
\(\small [\,2\,]\) 軸が \(0\) より小さい \(x=p \lt 0\)
\(\small [\,3\,]\) \(y\) 軸との交点が正 \(C \gt 0\)
※ 2次方程式が正の解と負の解を \(1\) つずつもつ。
\(\small [\,3\,]\) \(y\) 軸との交点が負 \(C \lt 0\)
※ \(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) の条件は不要。
2次関数と \(x\) 軸との交点の位置は、
※ 2次方程式の \(2\) つの解の正負
■ \(x\) 軸の正の部分で \(2\) 点で交わる場合
※ 2次方程式が異なる \(2\) つの正の解をもつ。
\(\small [\,1\,]\) \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる \(D \gt 0\)
\(\small [\,2\,]\) 軸が \(0\) より大きい \(x=p \gt 0\)
\(\small [\,3\,]\) \(y\) 軸との交点が正 \(C \gt 0\)
■ \(x\) 軸の負の部分で \(2\) 点で交わる場合
※ 2次方程式が異なる \(2\) つの負の解をもつ。
\(\small [\,1\,]\) \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる \(D \gt 0\)
\(\small [\,2\,]\) 軸が \(0\) より小さい \(x=p \lt 0\)
\(\small [\,3\,]\) \(y\) 軸との交点が正 \(C \gt 0\)
■ \(x\) 軸の正の部分と負の部分で交わる場合
※ 2次方程式が正の解と負の解を \(1\) つずつもつ。
\(\small [\,3\,]\) \(y\) 軸との交点が負 \(C \lt 0\)
※ \(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) の条件は不要。
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詳しい解説｜2次関数とx軸との交点の位置
２次関数 51
2次関数 \(y=x^2-2mx-m+6\) のグラフと \(x\) 軸の正の部分が異なる \(2\) 点で交わるとき、定数 \(m\) の範囲の求め方は？また、2次方程式 \(x^2-2mx-m+6=0\) が異なる \(2\) つの負の解をもつ、または、正の解と負の解を \(1\) つずつもつとき、定数 \(m\) の範囲の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
2次関数 \(y=x^2-2mx-m+6\) のグラフと \(x\) 軸の正の部分が異なる \(2\) 点で交わるとき、
\(\small [\,1\,]\) \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる
\(\small [\,2\,]\) 軸が \(0\) より大きい
\(\small [\,3\,]\) \(y\) 軸との交点が正
\(\small [\,1\,]\) より、2次方程式 \(x^2-2mx-m+6=0\) の判別式 \(D\) が \(D \gt 0\)
\(x^2+2 \cdot (-m)x+(-m+6)=0\) の判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=(-m)^2-1 \cdot (-m+6) &\gt& 0\\[5pt]~~~m^2+m-6 &\gt& 0\\[5pt]~~~(m+3)(m-2) &\gt& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(m+3)(m-2)\) の \(y \gt 0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(m \lt -3~,~2 \lt m~~~\cdots ①\)
\(\small [\,2\,]\) より、軸の位置が正である
2次関数 \(y=x^2-2mx-m+6\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2mx-m+6\\[3pt]~~~&=&(x^2-2mx+m^2-m^2)-m+6\\[3pt]~~~&=&(x^2-2mx+m^2)-m^2-m+6\\[3pt]~~~&=&(x-m)^2-m^2-m+6\end{eqnarray}\)
よって、軸の方程式が \(x=m\) で正であるので、
\(m \gt 0~~~\cdots ②\)
\(\small [\,3\,]\) より、\(y\) 軸との交点が正（\(y\) 切片が正）より、
\(\begin{eqnarray}~~~-m+6 &\gt& 0\\[3pt]~~~-m &\gt& -6\\[3pt]~~~m &\lt& 6\end{eqnarray}\)
\(m \lt 6~~~\cdots ③\)
よって、①、②、③ の共通範囲は、
したがって、\(2 \lt m \lt 6\) となる
2次方程式 \(x^2-2mx-m+6=0\) が異なる \(2\) つの負の解をもつことは、
2次関数 \(y=x^2-2mx-m+6\) のグラフと \(x\) 軸の負の部分が異なる \(2\) 点で交わるとき、
\(\small [\,1\,]\) \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる
\(\small [\,2\,]\) 軸が \(0\) より小さい
\(\small [\,3\,]\) \(y\) 軸との交点が正
\(\small [\,1\,]\) より、2次方程式 \(x^2-2mx-m+6=0\) の判別式 \(D\) が \(D \gt 0\)
\(x^2+2 \cdot (-m)x+(-m+6)=0\) の判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=(-m)^2-1 \cdot (-m+6) &\gt& 0\\[5pt]~~~m^2+m-6 &\gt& 0\\[5pt]~~~(m+3)(m-2) &\gt& 0\end{eqnarray}\)
2次関数 \(y=(m+3)(m-2)\) の \(y \gt 0\) の範囲がこの2次不等式の解より、
\(m \lt -3~,~2 \lt m~~~\cdots ①\)
\(\small [\,2\,]\) より、軸の位置が負である
2次関数 \(y=x^2-2mx-m+6\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x^2-2mx-m+6\\[3pt]~~~&=&(x^2-2mx+m^2-m^2)-m+6\\[3pt]~~~&=&(x^2-2mx+m^2)-m^2-m+6\\[3pt]~~~&=&(x-m)^2-m^2-m+6\end{eqnarray}\)
軸の方程式が \(x=m\) で負であるので、
\(m \lt 0~~~\cdots ②\)
\(\small [\,3\,]\) より、\(y\) 軸との交点が正（\(y\) 切片が正）より、
\(m \lt 6~~~\cdots ③\)
よって、①、②、③ の共通範囲より、
したがって、\(m \lt -3\) となる
次に、2次方程式 \(x^2-2mx-m+6=0\) が正の解と負の解をもつことは、
2次関数 \(y=x^2-2mx-m+6\) のグラフと \(x\) 軸の正の部分で \(1\) 点、負の部分で \(1\) 点で交わるとき、
\(\small [\,3\,]\) \(y\) 軸との交点が負
これより、\(y\) 軸との交点が負（\(y\) 切片が負）だから、
\(\begin{eqnarray}~~~-m+6 &\lt& 0\\[3pt]~~~-m &\lt& -6\\[3pt]~~~m &\gt& 6\end{eqnarray}\)
したがって、\(m \gt 6\) となる
