- 数学Ⅰ｜２次関数「2次関数とx軸の共有点の個数」の基本例題解説ページです。
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問題｜2次関数とx軸の共有点の個数
２次関数 302次関数 \(y=x^2-3x+1~,~\)\(y=4x^2-4x+1~,~\)\(y=x^2-2x+3\) のグラフと \(x\) 軸との共有点の個数の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
解法のPoint
2次関数とx軸の共有点の個数
Point：2次関数とx軸の共有点の個数
よって、判別式 \(D=b^2-4ac\) とすると、
\({\small [\,1\,]}\) \(D \gt 0\) のとき 共有点 \(2\) 個
\({\small [\,2\,]}\) \(D=0\) のとき 共有点 \(1\) 個
\({\small [\,3\,]}\) \(D \lt 0\) のとき 共有点 \(0\) 個
2次関数 \(y=ax^2+bx+c\) と \(x\) 軸との共有点の個数は、2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解の個数の条件と一致する。
よって、判別式 \(D=b^2-4ac\) とすると、
\({\small [\,1\,]}\) \(D \gt 0\) のとき 共有点 \(2\) 個
\({\small [\,2\,]}\) \(D=0\) のとき 共有点 \(1\) 個
\({\small [\,3\,]}\) \(D \lt 0\) のとき 共有点 \(0\) 個
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詳しい解説｜2次関数とx軸の共有点の個数
２次関数 30
2次関数 \(y=x^2-3x+1~,~\)\(y=4x^2-4x+1~,~\)\(y=x^2-2x+3\) のグラフと \(x\) 軸との共有点の個数の求め方は？
高校数学Ⅰ｜２次関数
2次関数 \(y=x^2-3x+1\) と \(x\) 軸との共有点の個数は、2次方程式 \(x^2-3x+1=0\) の解の個数の条件と一致するので、
判別式を \(D\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~D&=&(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot 1
\\[3pt]~~~&=&9-4
\\[3pt]~~~&=&5 \gt 0\end{eqnarray}\)
\(D \gt 0\) となるので、共有点の個数は \(2\) 個
2次関数 \(y=4x^2-4x+1\) と \(x\) 軸との共有点の個数は、2次方程式 \(4x^2-4x+1=0\) の解の個数の条件と一致するので、
\(4x^2+2 \cdot (-2)x+1=0\) の判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}\) を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&(-2)^2-4 \cdot 1
\\[5pt]~~~&=&4-4
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(D=0\) となるので、共有点の個数は \(1\) 個（\(x\) 軸と接する）
2次関数 \(y=x^2-2x+3\) と \(x\) 軸との共有点の個数は、2次方程式 \(x^2-2x+3=0\) の解の個数の条件と一致するので、
\(x^2+2 \cdot (-1)x+3=0\) の判別式 \(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}\) を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&(-1)^2-1 \cdot 3
\\[5pt]~~~&=&1-3
\\[5pt]~~~&=&-2 \lt 0\end{eqnarray}\)
\(D \lt 0\) となるので、共有点の個数は \(0\) 個（共有点をもたない）
