- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「三角比の値と辺の長さ」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角比の値と辺の長さ
図形と計量（三角比） 03\({C}=90^\circ\) の直角三角形 \({\rm ABC}\) において、点 \({\rm C}\) から辺 \({\rm AB}\) に垂線 \({\rm CH}\) を下ろし、\({\rm BC}=a~,~\)\(\angle {\rm ABC}=\theta\) とするとき、\({\rm AB}~,~\)\({\rm AC}~,~\)\({\rm BH}~,~\)\({\rm CH}~,~\)\({\rm AH}\) を \(a\) と \(\theta\) を用いて表す方法は？また、対角線の長さが \(8\) の正方形の \(1\) 辺の長さを三角比を用いて求める方法は？さらに、高さが \(6\) の正三角形の \(1\) 辺の長さを三角比を用いて求める方法は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
解法のPoint
三角比の値と辺の長さ
Point：三角比の値と辺の長さ直角三角形 \({\rm ABC}\) について、
正弦より、\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}\)
よって、この三角形の高さ \(y=r\sin \theta\)
よって、この三角形の横 \(x=r\cos \theta\)
よって、この三角形の高さ \(y=x\tan \theta\)
これらを用いて、辺の長さを求めることができる。
正弦より、\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}\)
よって、この三角形の高さ \(y=r\sin \theta\)
余弦より、\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}\)
よって、この三角形の横 \(x=r\cos \theta\)
正接より、\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\)
よって、この三角形の高さ \(y=x\tan \theta\)
これらを用いて、辺の長さを求めることができる。
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詳しい解説｜三角比の値と辺の長さ
図形と計量（三角比） 03\({C}=90^\circ\) の直角三角形 \({\rm ABC}\) において、点 \({\rm C}\) から辺 \({\rm AB}\) に垂線 \({\rm CH}\) を下ろし、\({\rm BC}=a~,~\)\(\angle {\rm ABC}=\theta\) とするとき、\({\rm AB}~,~\)\({\rm AC}~,~\)\({\rm BH}~,~\)\({\rm CH}~,~\)\({\rm AH}\) を \(a\) と \(\theta\) を用いて表す方法は？また、対角線の長さが \(8\) の正方形の \(1\) 辺の長さを三角比を用いて求める方法は？さらに、高さが \(6\) の正三角形の \(1\) 辺の長さを三角比を用いて求める方法は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\({\rm AB}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm B}\) の余弦より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&\displaystyle \frac{\,{\rm BC}\,}{\,{\rm AB}\,}\\[5pt]~~~{\rm AB}\cos \theta&=&a\\[5pt]~~~{\rm AB}&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\cos \theta\,}\end{eqnarray}\)
\({\rm AC}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm B}\) の正接より、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\displaystyle \frac{\,{\rm AC}\,}{\,{\rm BC}\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AC}\,}{\,a\,}&=&\tan \theta\\[5pt]~~~{\rm AC}&=&a\tan \theta\end{eqnarray}\)
\({\rm BH}\) は \(\triangle {\rm CBH}\) の \(\angle {\rm B}\) の余弦より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&\displaystyle \frac{\,{\rm BH}\,}{\,{\rm BC}\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm BH}\,}{\,a\,}&=&\cos \theta\\[5pt]~~~{\rm BH}&=&a\cos \theta\end{eqnarray}\)
\({\rm CH}\) は \(\triangle {\rm CBH}\) の \(\angle {\rm B}\) の正弦より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&\displaystyle \frac{\,{\rm CH}\,}{\,{\rm BC}\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm CH}\,}{\,a\,}&=&\sin \theta\\[5pt]~~~{\rm CH}&=&a\sin \theta\end{eqnarray}\)
\({\rm AH}\) は \({\rm AH}={\rm AB}-{\rm BH}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AH}&=&{\rm AB}-{\rm BH}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\cos \theta\,}-a\cos \theta\end{eqnarray}\)
対角線の長さが \(8\) の正方形の \(1\) 辺の長さ \(x\) は、
\(\theta=45^\circ\) の直角三角形の正弦より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 45^\circ&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,8\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,8\,}\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,\sqrt{2}\,}\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,8 {\, \small \times \,} \sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2} {\, \small \times \,} \sqrt{2}\,}\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,8\sqrt{2}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~x&=&4\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
したがって、\(1\) 辺の長さは \(4\sqrt{2}\) となる
高さが \(6\) の正三角形の \(1\) 辺の長さ \(x\) は、
\(\theta=60^\circ\) の直角三角形の正弦より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 60^\circ&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,x\,}\\[5pt]~~~x {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}&=&6\\[5pt]~~~x&=&6 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{3}\,}\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,\sqrt{3}\,}\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,\sqrt{3}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{3}\,}\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,12\sqrt{3}\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~x&=&4\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
したがって、\(1\) 辺の長さは \(4\sqrt{3}\) となる
