- 数学Ⅰ「図形と計量（三角比）」の基本例題一覧ページです。
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直角三角形と三角比
01｜直角三角形と正弦・余弦・正接の値
図形と計量（三角比） 01\({C}=90^\circ~,~\)\({\rm AB}=5~,~\)\({\rm BC}=4~,~\)\({\rm AC}=3\) の直角三角形 \({\rm ABC}\) において、\(\sin {A}~,~\)\(\cos {A}~,~\)\(\tan {A}\) と \(\sin {B}~,~\)\(\cos {B}~,~\)\(\tan {B}\) の値の求め方は？
02｜30°、45°、60°の三角比の値
図形と計量（三角比） 02\(\theta=30^\circ~,~\)\(45^\circ~,~\)\(60^\circ\) の三角比 \(\sin \theta~,~\)\(\cos \theta~,~\)\(\tan \theta\) の値の求め方は？
03｜三角比の値と辺の長さ
図形と計量（三角比） 03\({C}=90^\circ\) の直角三角形 \({\rm ABC}\) において、点 \({\rm C}\) から辺 \({\rm AB}\) に垂線 \({\rm CH}\) を下ろし、\({\rm BC}=a~,~\)\(\angle {\rm ABC}=\theta\) とするとき、\({\rm AB}~,~\)\({\rm AC}~,~\)\({\rm BH}~,~\)\({\rm CH}~,~\)\({\rm AH}\) を \(a\) と \(\theta\) を用いて表す方法は？また、対角線の長さが \(8\) の正方形の \(1\) 辺の長さを三角比を用いて求める方法は？さらに、高さが \(6\) の正三角形の \(1\) 辺の長さを三角比を用いて求める方法は？
04｜三角比の表を用いた三角比の値
図形と計量（三角比） 04三角比の表より、\(\sin 10^\circ~,~\)\(\cos 10^\circ~,~\)\(\tan 10^\circ\) の値の調べ方は？また、\(\sin \theta=0.17\) のとき、\(\theta\) のおおよその値の求め方は？さらに、傾斜角 \(10^\circ\) の坂を \(100~{\rm m}\) 登ったとき、水平方向と鉛直方向に進んだ距離の求め方は？
05｜三角比を用いた測量
図形と計量（三角比） 05\(10~{\rm m}\) 離れた木の先端の仰角が \(15^\circ\) であり、目までの高さが \(1.5~{\rm m}\) であるとき、木の高さの求め方は？（ただし、\(\tan 15^\circ=0.2679\)）また、高さ \({\rm PH}=634~{\rm m}\) のタワーがあり、\(532~{\rm m}\) 離れた点 \({\rm A}\) からこのタワーの先端 \({\rm P}\) の仰角の求め方は？（ただし、\(\tan 50^\circ=1.1918\)）
三角比の相互関係
06｜sinθ(cosθ)の値と残りの三角比の値
図形と計量（三角比） 06\(\theta\) を鋭角として、\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\) のとき、\(\sin \theta~,~\)\(\tan \theta\) の値の求め方は？
07｜tanθの値と残りの三角比の値
図形と計量（三角比） 07\(\theta\) を鋭角として、\(\tan \theta=3\) のとき、\(\cos \theta~,~\)\(\sin \theta\) の値の求め方は？
08｜90°-θの三角比の値
図形と計量（三角比） 08三角比 \(\sin 51^\circ~,~\)\(\cos 62^\circ~,~\)\(\tan 73^\circ\) を \(45^\circ\) 以下の三角比で表す方法は？
09｜三角形の内角と90°-θの三角比
図形と計量（三角比） 09\(\triangle {\rm ABC}\) の内角 \({A}~,~\)\({B}~,~\)\({C}\) において、\(\sin \displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}=\cos \displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}~,~\)\(\tan \displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,} \cdot \tan \displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}=1\) の証明方法は？
三角比の拡張
10｜座標を用いた三角比の値
図形と計量（三角比） 10\(\theta=120^\circ~,~\)\(135^\circ~,~\)\(150^\circ~,~\)\(0^\circ~,~\)\(90^\circ~,~\)\(180^\circ\) の三角比 \(\sin \theta~,~\)\(\cos \theta~,~\)\(\tan \theta\) の値の求め方は？
11｜三角比のとりうる値の範囲
図形と計量（三角比） 11\(0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ\) や \(90^\circ \lt \theta{\small ~≦~}180^\circ\) での \(\sin \theta~,~\)\(\cos \theta~,~\)\(\tan \theta\) の正負の調べ方は？また、\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) での \(\sin \theta~,~\)\(\cos \theta~,~\)\(\tan \theta\) のとりうる値の範囲の求め方は？
12｜180°-θの三角比の値
図形と計量（三角比） 12三角比 \(\sin 125^\circ~,~\)\(\cos 147^\circ~,~\)\(\tan 169^\circ\) を鋭角の三角比で表す方法は？
13☆｜三角形の内角と180°-θの三角比
図形と計量（三角比） 13☆\(\triangle {\rm ABC}\) の内角 \({A}~,~\)\({B}~,~\)\({C}\) において、\(\sin {A}=\sin({B}+{C})\) 、\(\cos {A}=-\cos({B}+{C})\) の証明方法は？
14☆｜三角比の値の大小比較
図形と計量（三角比） 14☆三角比 \(\sin 60^\circ~,~\)\(\sin 130^\circ~,~\)\(\sin 150^\circ~,~\)\(\cos 20^\circ~,~\)\(\cos 50^\circ\) を小さい順に並べる方法は？
15☆｜90°+θの三角比の値
図形と計量（三角比） 15☆\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}90^\circ\) のとき、\(\sin(90^\circ+\theta)~,~\)\(\cos(90^\circ+\theta)~,~\)\(\tan(90^\circ+\theta)\) を \(\theta\) の三角比を用いて表す方法は？
16｜sinθ、cosθの等式を満たすθ
図形と計量（三角比） 16\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) のとき、\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}~,~\)\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}~,~\)\(\sin \theta=0~,~\)\(\sin \theta=1~,~\)\(\cos \theta=0~,~\)\(\cos \theta=1~,~\)\(\cos \theta=-1\) を満たす \(\theta\) の値の求め方は？
17｜tanθの等式を満たすθ
図形と計量（三角比） 17\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) のとき、\(\tan \theta=1~,~\)\(\tan \theta=-\sqrt{\,3\,}~,~\)\(\tan \theta=0\) を満たす \(\theta\) の値の求め方は？
18☆｜三角比の2次方程式とθの値
図形と計量（三角比） 18☆\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) のとき、\(4\cos^2 \theta-1=0\) を満たす \(\theta\) の値の求め方は？
19｜sinθ(0°≦θ≦180°)の値と残りの三角比の値
図形と計量（三角比） 19\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) として、\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) のとき、\(\cos \theta~,~\tan \theta\) の値の求め方は？
20｜tanθの値(0°≦θ≦180°)と残りの三角比の値
図形と計量（三角比） 20\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) として、\(\tan \theta=-3\) のとき、\(\cos \theta~,~\sin \theta\) の値の求め方は？
21｜三角比の等式の証明
図形と計量（三角比） 21三角比の等式 \(\tan \theta+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan \theta\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin \theta \cos \theta\,}\) の証明方法は？
22｜直線とのなす角とtanθ
図形と計量（三角比） 22直線 \(y=-x\) や \(y=\sqrt{\,3\,}x\) と \(x\) 軸の正の向きとのなす角の求め方は？また、\(2\) 直線 \(y=-x\) と \(y=\sqrt{\,3\,}x\) とのなす角 \(\theta\)（\(\theta\) は鋭角）の求め方は？
23☆｜三角比の不等式を満たす角
図形と計量（三角比） 23☆\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) のとき、不等式 \(\sin \theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(\cos \theta{\small ~≦~}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(\sin \theta \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) を満たす \(\theta\) の値の範囲の求め方は？
正弦定理と余弦定理
24｜正弦定理と外接円の半径
図形と計量（三角比） 24\(\triangle {\rm ABC}\) において、\({A}=45^\circ~,~\)\({C}=75^\circ~,~\)\(a=4\) のとき、\(b\) の長さと外接円の半径 \(R\) の求め方は？また、\(\triangle {\rm ABC}\) において、\({C}=30^\circ~,~\)\(a=2~,~\)\(c=\sqrt{2}\) のとき、\({B}\) の大きさの求め方は？
25｜余弦定理と三角形の辺と角
図形と計量（三角比） 25\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(b=3~,~\)\(c=8~,~\)\({A}=60^\circ\) のとき、\(a\) の求め方は？また、\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(b=\sqrt{7}~,~\)\(c=3~,~\)\({B}=60^\circ\) のとき、\(a\) の求め方は？さらに、\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(a=5~,~\)\(b=3~,~\)\(c=7\) のとき、\({C}\) の求め方は？
26｜三角形の辺と角の関係
図形と計量（三角比） 26\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(a=6~,~\)\(b=5~,~\)\(c=4\) のとき、\(\triangle {\rm ABC}\) は鋭角三角形or直角三角形or鈍角三角形のいずれかであるか？また、\(a=3~,~\)\(b=4~,~\)\(c=2\) や \(a=3~,~\)\(b=4~,~\)\(c=5\) では？
27｜正弦定理・余弦定理と三角形の辺と角
図形と計量（三角比） 27\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(a=2\sqrt{3}~,~\)\(c=3+\sqrt{3}~,~\)\({B}=60^\circ\) のとき、\(b~,~{A}~,~{C}\) の求め方は？
28｜正弦の比と辺の比
図形と計量（三角比） 28\(\triangle {\rm ABC}\) において、等式 \(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=3:5:7\) が成り立つとき、この三角形の最大の角の大きさの求め方は？
29☆｜正弦・余弦の等式と三角形の形状
図形と計量（三角比） 29☆\(\triangle {\rm ABC}\) において、等式 \(a\sin {A}=b\sin {B}\) が成り立つ三角形はどのような三角形であるか？また、等式 \(\sin {A}\cos {B}=\sin {C}\) では？
30☆｜共通角の2つの三角形の余弦定理
図形と計量（三角比） 30☆\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(b=5~,~\)\(c=8~,~\)\({A}=60^\circ\) で辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) とするとき、\({\rm BM}\) の長さ、\(\cos {B}\) の値、\({\rm AM}\) の長さの求め方は？
31☆｜余弦定理と中線定理の証明
図形と計量（三角比） 31☆\(\triangle {\rm ABC}\) と辺 \({\rm BC}\) の中点 \({\rm M}\) において、等式 \({\rm AB}^2+{\rm AC}^2=2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\) を余弦定理を用いて証明方法は？
32☆｜直角三角形と15°の三角比
図形と計量（三角比） 32☆\({\rm AC}=1~,~\)\({B}=30^\circ~,~\)\({C}=90^\circ\) の直角三角形 \({\rm ABC}\) において、辺 \({\rm BC}\) 上に \({\rm AC}={\rm CD}\) となる点 \({\rm D}\) をとるとき、\(\triangle {\rm ABD}\) の正弦定理と余弦定理を用いて、\(\sin 15^\circ~,~\cos 15^\circ\) の値の求め方は？
33☆｜二等辺三角形と36°の三角比
図形と計量（三角比） 33☆\({A}=36^\circ~,~\)\({\rm AB}={\rm AC}~,~\)\({\rm BC}=2\) の二等辺三角形 \({\rm ABC}\) において、\({B}\) の二等分線と辺 \({\rm AC}\) との交点を \({\rm D}\) とするとき、\({\rm AB}\) の長さを求めて、\(\cos 36^\circ\) の値の求め方は？
三角比と図形の面積
34｜正弦を用いた三角形の面積
図形と計量（三角比） 34\({\rm \triangle ABC}\) において、\(b=3~,~\)\(c=8~,~\)\({A}=60^\circ\) のとき、\({\rm \triangle ABC}\) の面積 \(S\) の求め方は？また、平行四辺形 \({\rm ABCD}\) において、\({\rm AB}=4~,~\)\({\rm AD}=7~,~\)\({B}=45^\circ\) のとき、平行四辺形 \({\rm ABCD}\) の面積 \(S\) の求め方は？
35☆｜正n角形の面積
図形と計量（三角比） 35☆半径 \(2\) の円に内接する正六角形、正八角形、正十二角形の面積の求め方は？
36｜3辺の長さと三角形の面積
図形と計量（三角比） 36\({\rm \triangle ABC}\) において、\(a=5~,~\)\(b=6~,~\)\(c=7\) のとき、\(\cos {A}~,~\)\(\sin {A}\) の値を求めて、\({\rm \triangle ABC}\) の面積 \(S\) の求める方法は？また、この \({\rm \triangle ABC}\) の面積 \(S\) をヘロンの公式を用いて求める方法は？
37｜三角形の面積と角の二等分線の長さ
図形と計量（三角比） 37\({\rm \triangle ABC}\) において、\({\rm AB}=3~,~\)\({\rm AC}=5~,~\)\({A}=60^\circ\) で \(\angle {\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) とするとき、線分 \({\rm AD}\) の長さの求め方は？
38☆｜三角形の面積を用いた等式の証明
図形と計量（三角比） 38☆\({\rm \triangle ABC}\) の面積 \(S\) 、外接円の半径を \(R\) とするとき、\(S=\displaystyle \frac{\,abc\,}{\,4R\,}\) の証明方法は？また、四角形 \({\rm ABCD}\) の対角線の長さを \(a\) と \(b\) 、対角線のなす角を \(\theta\) とするとき、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積 \(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}ab\sin \theta\) の証明方法は？
39｜円に内接する四角形の面積
図形と計量（三角比） 39円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) において、\({\rm AB}=4~,~\)\({\rm BC}=5~,~\)\({\rm CD}=4~,~\)\(\angle {\rm ABC}=60^\circ\) のとき、対角線 \({\rm AC}\) の長さ、\({\rm AD}\) の長さ、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積の求め方は？また、円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) において、\({\rm AB}=4~,~\)\({\rm BC}=5~,~\)\({\rm CD}=2~,~\)\({\rm AD}=4\) のとき、四角形 \({\rm ABCD}\) の面積の求め方は？
40｜三角形の面積と内接円の半径
図形と計量（三角比） 40\({\rm \triangle ABC}\) において、\(a=5~,~\)\(b=6~,~\)\(c=7\) のとき、\({\rm \triangle ABC}\) の内接円の半径 \(r\) の求め方は？
空間図形と三角比
41｜立体内部の三角形の面積と垂線の長さ
図形と計量（三角比） 41直方体 \({\rm ABCD-EFGH}\) において、\({\rm AB}=3~,~\)\({\rm AD}=2~,~\)\({\rm AE}=1\) のとき、\(\cos \angle {\rm ACF}\)、\(\triangle {\rm AFC}\) の面積、三角錐 \({\rm BAFC}\) の体積 \(V\)、点 \({\rm B}\) から \(\triangle {\rm AFC}\) に下ろした垂線 \({\rm BI}\) の長さの求め方は？
42｜正四面体の高さと体積
図形と計量（三角比） 42\(1\) 辺の長さ \(2\) の正四面体 \({\rm ABCD}\) において、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) 、頂点 \({\rm A}\) から \(\triangle {\rm BCD}\) に垂線 \({\rm AH}\) を下ろすとき、\(\cos \angle {\rm ADM}\) 、\({\rm AH}\) の長さ、\(\triangle {\rm ADM}\) の面積、正四面体の体積 \(V\) の求め方は？また、点 \({\rm H}\) が \(\triangle {\rm BCD}\) の外心であることより \({\rm AH}\) の長さを求める方法は？
43｜三角錐の高さの測量
図形と計量（三角比） 43\(400\,({\rm m})\) 離れた \(2\) 地点 \({\rm A}~,~\)\({\rm B}\) があり、\({\rm A}\) から高さ \({\rm PH}\) のタワーの先端 \({\rm P}\) を見ると仰角が \(60^\circ\) で、\(\angle {\rm HAB}=75^\circ~,~\)\(\angle {\rm HBA}=45^\circ\) であったとき、タワーの高さ \({\rm PH}\) の求め方は？
44☆｜正四面体に内接する球の半径
図形と計量（三角比） 44☆\(1\) 辺の長さ \(2\) の正四面体 \({\rm ABCD}\) に内接する球の半径 \(r\) と球の体積の求め方は？
