- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「三角比を用いた測量」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角比を用いた測量
図形と計量（三角比） 05\(10~{\rm m}\) 離れた木の先端の仰角が \(15^\circ\) であり、目までの高さが \(1.5~{\rm m}\) であるとき、木の高さの求め方は？（ただし、\(\tan 15^\circ=0.2679\)）また、高さ \({\rm PH}=634~{\rm m}\) のタワーがあり、\(532~{\rm m}\) 離れた点 \({\rm A}\) からこのタワーの先端 \({\rm P}\) の仰角の求め方は？（ただし、\(\tan 50^\circ=1.1918\)）
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
解法のPoint
三角比を用いた測量
Point：三角比を用いた測量
このとき、\(\triangle {\rm PAH}\) の正接より、
\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,{\rm PH}\,}{\,{\rm AH}\,}\)
点 \({\rm A}\) から点 \({\rm P}\) を見上げる。点 \({\rm A}\) を通る水平な線と辺 \({\rm AH}\) とのなす角 \(\theta\) を仰角という。
このとき、\(\triangle {\rm PAH}\) の正接より、
\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,{\rm PH}\,}{\,{\rm AH}\,}\)
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詳しい解説｜三角比を用いた測量
図形と計量（三角比） 05\(10~{\rm m}\) 離れた木の先端の仰角が \(15^\circ\) であり、目までの高さが \(1.5~{\rm m}\) であるとき、木の高さの求め方は？（ただし、\(\tan 15^\circ=0.2679\)）また、高さ \({\rm PH}=634~{\rm m}\) のタワーがあり、\(532~{\rm m}\) 離れた点 \({\rm A}\) からこのタワーの先端 \({\rm P}\) の仰角の求め方は？（ただし、\(\tan 50^\circ=1.1918\)）
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
目の高さから木の先端までの高さを \(x~{\rm m}\) とすると、
直角三角形の正接より、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan 15^\circ&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,10\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,x\,}{\,10\,}&=&\tan 15^\circ\\[5pt]~~~x&=&10{\, \small \times \,}\tan 15^\circ\end{eqnarray}\)
三角比の表より、\(\tan 15^\circ=0.2679\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&10 {\, \small \times \,} 0.2679\\[3pt]~~~&=&2.679\end{eqnarray}\)
よって、木の高さは目の高さまでを加えて、
\(2.679+1.5=4.179\)
したがって、木の高さは約 \(4.18~{\rm m}\) となる
このときの仰角を \(\theta\) とすると、
\(\angle {\rm PAH}=\theta~,~{\rm PH}=634~{\rm m}~,~{\rm AH}=532~{\rm m}\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\displaystyle \frac{\,{\rm PH}\,}{\,{\rm AH}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,634\,}{\,532\,}\\[5pt]~~~&=&1.1917\cdots\end{eqnarray}\)
三角比の表より、\(\tan 50^\circ=1.1918\) であるので、
\(\theta \fallingdotseq 50^\circ\)
したがって、仰角は約 \(50^\circ\) となる
