- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「正弦の比と辺の比」の基本例題解説ページです。
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問題｜正弦の比と辺の比
図形と計量（三角比） 28\(\triangle {\rm ABC}\) において、等式 \(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=3:5:7\) が成り立つとき、この三角形の最大の角の大きさの求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
解法のPoint
正弦の比と辺の比
Point：正弦の比と辺の比正弦の比から最大の角の大きさを求める方法は、
① 正弦定理より、正弦（\(\sin\)）の比と辺の比が等しくなる。
正弦定理
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin {B}\,}=\displaystyle \frac{\,c\,}{\,\sin {C}\,}\)
すなわち、\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=a:b:c\)
② 正の数 \(k\) を用いて、辺を \(k\) の式で表す。
\(a:b:c=3:5:7\) より、
\(a=3k~,~b=5k~,~c=7k\)
③ 最大の辺の対角が最大の角より、余弦定理で \({C}\)（最大の角）の値を求める。
\(\cos {C}=\displaystyle \frac{\,9k^2+25k^2-49k^2\,}{\,30k^2\,}\)
※ \(k\) が約分されて \({C}\) の大きさが求まる。
① 正弦定理より、正弦（\(\sin\)）の比と辺の比が等しくなる。
正弦定理
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin {B}\,}=\displaystyle \frac{\,c\,}{\,\sin {C}\,}\)
すなわち、\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=a:b:c\)
② 正の数 \(k\) を用いて、辺を \(k\) の式で表す。
\(a:b:c=3:5:7\) より、
\(a=3k~,~b=5k~,~c=7k\)
③ 最大の辺の対角が最大の角より、余弦定理で \({C}\)（最大の角）の値を求める。
\(\cos {C}=\displaystyle \frac{\,9k^2+25k^2-49k^2\,}{\,30k^2\,}\)
※ \(k\) が約分されて \({C}\) の大きさが求まる。
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詳しい解説｜正弦の比と辺の比
図形と計量（三角比） 28\(\triangle {\rm ABC}\) において、等式 \(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=3:5:7\) が成り立つとき、この三角形の最大の角の大きさの求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\(\triangle {\rm ABC}\) の辺を \(a~,~b~,~c\) とすると、
正弦定理より
\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=a:b:c\)
\(\sin {A}:\sin {B}:\sin {C}=3:5:7\) より、
\(a:b:c=3:5:7\)
ここで、正の数 \(k\) を用いて、
\(a=3k~,~b=5k~,~c=7k\)
\(c\) が最大の辺より、\({C}\) が最大の角となるので、\({C}\) の余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~c^2&=&a^2+b^2-2ab\cos {C}\\[3pt]~~~(7k)^2&=&(3k)^2+(5k)^2-2 \cdot 3k \cdot 5k \cdot \cos {C}\\[3pt]~~~30k^2\cos {C}&=&9k^2+25k^2-49k^2\\[3pt]~~~\cos {C}&=&\displaystyle \frac{\,-15k^2\,}{\,30k^2\,}\\[5pt]~~~\cos {C}&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点は、
\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形より、\(x\) 軸の正の部分となす角より、
\({C}=120^\circ\)
したがって、最大の角は \(120^\circ\) となる
