- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「座標を用いた三角比の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜座標を用いた三角比の値
図形と計量（三角比） 10\(\theta=120^\circ~,~\)\(135^\circ~,~\)\(150^\circ~,~\)\(0^\circ~,~\)\(90^\circ~,~\)\(180^\circ\) の三角比 \(\sin \theta~,~\)\(\cos \theta~,~\)\(\tan \theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
解法のPoint
座標を用いた三角比の値
Point：座標を用いた三角比の値
\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}~,~\cos \theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}~,~\tan \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\)
■ \(30^\circ\) の倍数（半径 \(2\) の半円）
■ \(45^\circ\) の倍数（半径 \(\sqrt{\,2\,}\) の半円）
■ \(0^\circ~,~90^\circ~,~180^\circ\)（半径 \(1\) の半円）
鈍角の三角比の値や \(0^\circ~,~\)\(90^\circ~,~\)\(180^\circ\) の三角比の値は、座標平面に半径 \(r\) の半円を描き、\(x\) 軸と線分 \(\rm OP\) のなす角を \(\theta\) とすると、
\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}~,~\cos \theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}~,~\tan \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\)
■ \(30^\circ\) の倍数（半径 \(2\) の半円）
■ \(45^\circ\) の倍数（半径 \(\sqrt{\,2\,}\) の半円）
■ \(0^\circ~,~90^\circ~,~180^\circ\)（半径 \(1\) の半円）
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詳しい解説｜座標を用いた三角比の値
図形と計量（三角比） 10\(\theta=120^\circ~,~\)\(135^\circ~,~\)\(150^\circ~,~\)\(0^\circ~,~\)\(90^\circ~,~\)\(180^\circ\) の三角比 \(\sin \theta~,~\)\(\cos \theta~,~\)\(\tan \theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\(120^\circ\) を座標平面の半径 \(2\) の半円上に表すと、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形より、点 \({\rm P}\) の座標は \((-1~,~\sqrt{\,3\,})\) 、半径 \(2\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 120^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 120^\circ&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,2\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\tan 120^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,-1\,}=-\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(135^\circ\) を座標平面の半径 \(\sqrt{\,2\,}\) の半円上に表すと、
\(1:1:\sqrt{\,2\,}\) の直角三角形より、点 \({\rm P}\) の座標は \((-1~,~1)\) 、半径 \(\sqrt{\,2\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 135^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 135^\circ&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\tan 135^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,-1\,}=-1\end{eqnarray}\)
\(150^\circ\) を座標平面の半径 \(2\) の半円上に表すと、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形より、点 \({\rm P}\) の座標は \((-\sqrt{\,3\,}~,~1)\) 、半径 \(2\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 150^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 150^\circ&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,-\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\tan 150^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,-\sqrt{\,3\,}\,}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(0^\circ\) を座標平面の半径 \(1\) の半円上に表すと、
点 \({\rm P}\) の座標は \((1~,~0)\) 、半径 \(1\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 0^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,0\,}{\,1\,}=0\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 0^\circ&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}=1\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\tan 0^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}=\displaystyle \frac{\,0\,}{\,1\,}=0\end{eqnarray}\)
\(90^\circ\) を座標平面の半径 \(1\) の半円上に表すと、
点 \({\rm P}\) の座標は \((0~,~1)\) 、半径 \(1\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 90^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}=1\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 90^\circ&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,0\,}{\,1\,}=0\end{eqnarray}\)
\(\tan 90^\circ\) は、\(x=0\) より定義されない
\(180^\circ\) を座標平面の半径 \(1\) の半円上に表すと、
点 \({\rm P}\) の座標は \((-1~,~0)\) 、半径 \(1\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 180^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,0\,}{\,1\,}=0\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 180^\circ&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,-1\,}{\,1\,}=-1\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\tan 180^\circ&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}=\displaystyle \frac{\,0\,}{\,-1\,}=0\end{eqnarray}\)
