- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「tanθの値と残りの三角比の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜tanθの値と残りの三角比の値
図形と計量（三角比） 07\(\theta\) を鋭角として、\(\tan \theta=3\) のとき、\(\cos \theta~,~\)\(\sin \theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
解法のPoint
tanθの値と残りの三角比の値
Point：tanθの値と残りの三角比の値
① 角 \(\theta\) の範囲から、三角比の値の正負を調べる。
\(\theta\) が鋭角のとき、
\(\sin \theta \gt 0~,~\cos \theta \gt 0~,~\tan \theta \gt 0\)
② 相互関係の公式 \(1+\tan^2 \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}\) より、\(\cos \theta\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}1+\tan^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}\\[5pt]~\Leftrightarrow ~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 \theta\,}\end{eqnarray}\)
③ 相互関係の公式 \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、\(\sin \theta\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}\tan \theta&=&\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\\[5pt]~\Leftrightarrow ~\sin \theta&=&\tan \theta \cdot \cos \theta\end{eqnarray}\)
\(\tan \theta\) の値から \(\cos \theta\) と \(\sin \theta\) の値を求める方法は、
① 角 \(\theta\) の範囲から、三角比の値の正負を調べる。
\(\theta\) が鋭角のとき、
\(\sin \theta \gt 0~,~\cos \theta \gt 0~,~\tan \theta \gt 0\)
② 相互関係の公式 \(1+\tan^2 \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}\) より、\(\cos \theta\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}1+\tan^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}\\[5pt]~\Leftrightarrow ~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 \theta\,}\end{eqnarray}\)
③ 相互関係の公式 \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、\(\sin \theta\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}\tan \theta&=&\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\\[5pt]~\Leftrightarrow ~\sin \theta&=&\tan \theta \cdot \cos \theta\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜tanθの値と残りの三角比の値
図形と計量（三角比） 07\(\theta\) を鋭角として、\(\tan \theta=3\) のとき、\(\cos \theta~,~\)\(\sin \theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\(\theta\) は鋭角より、
\(\sin \theta \gt 0~,~\cos \theta \gt 0~,~\tan \theta \gt 0\)
相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~1+\tan^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}&=&1+\tan^2 \theta
\\[5pt]~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 \theta\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\tan \theta=3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+3^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\end{eqnarray}\)
次に、相互関係の公式 \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}&=&\tan \theta
\\[5pt]~~~\sin \theta&=&\tan \theta {\, \small \times \,} \cos \theta\end{eqnarray}\)
ここで、\(\tan \theta=3~,~\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&3 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}~,~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\) となる
