- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「三角形の辺と角の関係」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角形の辺と角の関係
図形と計量（三角比） 26\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(a=6~,~\)\(b=5~,~\)\(c=4\) のとき、\(\triangle {\rm ABC}\) は鋭角三角形or直角三角形or鈍角三角形のいずれかであるか？また、\(a=3~,~\)\(b=4~,~\)\(c=2\) や \(a=3~,~\)\(b=4~,~\)\(c=5\) では？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
解法のPoint
三角形の辺と角の関係
Point：三角形の辺と角の関係
① 最大の辺の \(2\) 乗と、ほかの \(2\) 辺の \(2\) 乗の和を比較する。
辺 \(a\) が最大の辺のとき
\(a^2 \lt b^2+c^2~\Leftrightarrow ~\angle {\rm A} \lt 90^\circ\)
\(a^2=b^2+c^2~\Leftrightarrow ~\angle {\rm A}=90^\circ\)
\(a^2 \gt b^2+c^2~\Leftrightarrow ~\angle {\rm A} \gt 90^\circ\)
② 最大の辺の対角が最大の角より、三角形の形状が決まる。
\(\angle {\rm A} \lt 90^\circ~\Leftrightarrow ~\)鋭角三角形
\(\angle {\rm A}=90^\circ~\Leftrightarrow ~\)直角三角形
\(\angle {\rm A} \gt 90^\circ~\Leftrightarrow ~\)鈍角三角形
三角形の \(3\) 辺の長さから三角形の形状を決定する方法は、
① 最大の辺の \(2\) 乗と、ほかの \(2\) 辺の \(2\) 乗の和を比較する。
辺 \(a\) が最大の辺のとき
\(a^2 \lt b^2+c^2~\Leftrightarrow ~\angle {\rm A} \lt 90^\circ\)
\(a^2=b^2+c^2~\Leftrightarrow ~\angle {\rm A}=90^\circ\)
\(a^2 \gt b^2+c^2~\Leftrightarrow ~\angle {\rm A} \gt 90^\circ\)
② 最大の辺の対角が最大の角より、三角形の形状が決まる。
\(\angle {\rm A} \lt 90^\circ~\Leftrightarrow ~\)鋭角三角形
\(\angle {\rm A}=90^\circ~\Leftrightarrow ~\)直角三角形
\(\angle {\rm A} \gt 90^\circ~\Leftrightarrow ~\)鈍角三角形
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詳しい解説｜三角形の辺と角の関係
図形と計量（三角比） 26\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(a=6~,~\)\(b=5~,~\)\(c=4\) のとき、\(\triangle {\rm ABC}\) は鋭角三角形or直角三角形or鈍角三角形のいずれかであるか？また、\(a=3~,~\)\(b=4~,~\)\(c=2\) や \(a=3~,~\)\(b=4~,~\)\(c=5\) では？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\(a=6~,~b=5~,~c=4\) のとき、
最大の辺が \(a\) より最大の角は \({A}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&6^2=36\\[3pt]~~~b^2+c^2&=&5^2+4^2\\[3pt]~~~&=&25+16\\[3pt]~~~&=&41\end{eqnarray}\)
よって、\(a^2 \lt b^2+c^2\) より、\(\angle {\rm A} \lt 90^\circ\)
最大の角 \({A}\) が鋭角より、\(\triangle {\rm ABC}\) は鋭角三角形となる
\(a=3~,~b=4~,~c=2\) のとき、
最大の辺が \(b\) より最大の角は \({B}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~b^2&=&4^2=16\\[3pt]~~~a^2+c^2&=&3^2+2^2\\[3pt]~~~&=&9+4\\[3pt]~~~&=&13\end{eqnarray}\)
よって、\(b^2 \gt a^2+c^2\) より、\(\angle {\rm B} \gt 90^\circ\)
最大の角 \({B}\) が鈍角より、\(\triangle {\rm ABC}\) は鈍角三角形となる
\(a=3~,~b=4~,~c=5\) のとき、
最大の辺が \(c\) より最大の角は \({C}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~c^2&=&5^2=25\\[3pt]~~~a^2+b^2&=&3^2+4^2\\[3pt]~~~&=&9+16\\[3pt]~~~&=&25\end{eqnarray}\)
よって、\(c^2=a^2+b^2\) より、\(\angle {\rm C}=90^\circ\)
最大の角 \({C}\) が直角より、\(\triangle {\rm ABC}\) は直角三角形となる
