- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「tanθの値(0°≦θ≦180°)と残りの三角比の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜tanθの値(0°≦θ≦180°)と残りの三角比の値
図形と計量（三角比） 20\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) として、\(\tan \theta=-3\) のとき、\(\cos \theta~,~\sin \theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
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tanθの値(0°≦θ≦180°)と残りの三角比の値
解法のPoint
tanθの値(0°≦θ≦180°)と残りの三角比の値
Point：tanθの値(0°≦θ≦180°)と残りの三角比の値\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) の \(\tan \theta\) の値から \(\cos \theta\) と \(\sin \theta\) の値の求め方は、
① \(\tan \theta\) の正負より、\(\theta\) の角の範囲を求め、残りの三角比の正負を判別する。
\(0^\circ \lt \theta{\small ~≦~}180^\circ\) かつ \(\tan \theta=-3 \lt 0\) より、
\(90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) となり、
\(\cos \theta \lt 0~,~\sin \theta \gt 0\)
② 相互関係の公式 \(1+\tan^2 \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}\) より \(\cos \theta\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}1+\tan^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}\\[5pt]~\Leftrightarrow ~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 \theta\,}\end{eqnarray}\)
③ 相互関係の公式 \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、\(\sin \theta\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}\tan \theta&=&\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\\[5pt]~\Leftrightarrow ~\sin \theta&=&\tan \theta \cdot \cos \theta\end{eqnarray}\)
① \(\tan \theta\) の正負より、\(\theta\) の角の範囲を求め、残りの三角比の正負を判別する。
\(0^\circ \lt \theta{\small ~≦~}180^\circ\) かつ \(\tan \theta=-3 \lt 0\) より、
\(90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) となり、
\(\cos \theta \lt 0~,~\sin \theta \gt 0\)
② 相互関係の公式 \(1+\tan^2 \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}\) より \(\cos \theta\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}1+\tan^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}\\[5pt]~\Leftrightarrow ~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 \theta\,}\end{eqnarray}\)
③ 相互関係の公式 \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、\(\sin \theta\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}\tan \theta&=&\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\\[5pt]~\Leftrightarrow ~\sin \theta&=&\tan \theta \cdot \cos \theta\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜tanθの値(0°≦θ≦180°)と残りの三角比の値
図形と計量（三角比） 20\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) として、\(\tan \theta=-3\) のとき、\(\cos \theta~,~\sin \theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) で \(\tan \theta=-3 \lt 0\) であることより、\(90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) となり、
\(\cos \theta \lt 0~,~\sin \theta \gt 0\)
相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~1+\tan^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}&=&1+\tan^2 \theta\\[5pt]~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 \theta\,}\end{eqnarray}\)
\(\tan \theta=-3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+(-3)^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta \lt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\end{eqnarray}\)
また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}&=&\tan \theta\\[5pt]~~~\sin \theta&=&\tan \theta{\, \small \times \,}\cos \theta\end{eqnarray}\)
\(\tan \theta=-3~,~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&-3{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\right)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}~,~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\) となる
