- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「三角比のとりうる値の範囲」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角比のとりうる値の範囲
図形と計量（三角比） 11\(0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ\) や \(90^\circ \lt \theta{\small ~≦~}180^\circ\) での \(\sin \theta~,~\)\(\cos \theta~,~\)\(\tan \theta\) の正負の調べ方は？また、\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) での \(\sin \theta~,~\)\(\cos \theta~,~\)\(\tan \theta\) のとりうる値の範囲の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
解法のPoint
三角比のとりうる値の範囲
Point：三角比のとりうる値の範囲
\(0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ\) のとき、
\(\sin \theta \gt 0~,~\cos \theta \gt 0~,~\tan \theta \gt 0\)
\(90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) のとき、
\(\sin \theta \gt 0~,~\cos \theta \lt 0~,~\tan \theta \lt 0\)
\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) のとき、
\(0{\small ~≦~}\sin \theta{\small ~≦~}1~,~-1{\small ~≦~}\cos \theta{\small ~≦~}1\)
また、\(\theta \neq 90^\circ\) で、\(\tan \theta\) はすべての実数値をとる。
■ \(\theta\) の値と三角比の正負の関係
\(0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ\) のとき、
\(\sin \theta \gt 0~,~\cos \theta \gt 0~,~\tan \theta \gt 0\)
\(90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) のとき、
\(\sin \theta \gt 0~,~\cos \theta \lt 0~,~\tan \theta \lt 0\)
■ \(\theta\) の値と三角比のとりうる値の範囲
\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) のとき、
\(0{\small ~≦~}\sin \theta{\small ~≦~}1~,~-1{\small ~≦~}\cos \theta{\small ~≦~}1\)
また、\(\theta \neq 90^\circ\) で、\(\tan \theta\) はすべての実数値をとる。
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詳しい解説｜三角比のとりうる値の範囲
図形と計量（三角比） 11\(0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ\) や \(90^\circ \lt \theta{\small ~≦~}180^\circ\) での \(\sin \theta~,~\)\(\cos \theta~,~\)\(\tan \theta\) の正負の調べ方は？また、\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) での \(\sin \theta~,~\)\(\cos \theta~,~\)\(\tan \theta\) のとりうる値の範囲の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\(0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ\) のとき、
点 \({\rm P}\) が第 \(1\) 象限にあり、\(x \gt 0~,~y \gt 0~,~r \gt 0\)
これより、
\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,} \gt 0\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,} \gt 0\)
\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,} \gt 0\)
したがって、\(\sin \theta \gt 0~,~\cos \theta \gt 0~,~\tan \theta \gt 0\) となる
\(90^\circ \lt \theta{\small ~≦~}180^\circ\) のとき、
点 \({\rm P}\) が第 \(2\) 象限または \(x\) 軸上にあり、\(x \lt 0~,~y{\small ~≧~}0~,~r \gt 0\)
※ \(\theta=180^\circ\) のとき \(y=0\) となるので \(y{\small ~≧~}0\) とイコールを付ける。
これより、
\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}{\small ~≧~}0\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,} \lt 0\)
\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}{\small ~≦~}0\)
したがって、\(\sin \theta{\small ~≧~}0~,~\cos \theta \lt 0~,~\tan \theta{\small ~≦~}0\) となる
半径 \(1\) の半円について、
線分 \({\rm OP}\) と \(x\) 軸の正の部分とのなす角 \(\theta\) と点 \({\rm P}(x~,~y)\) の座標の範囲について、
\(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1~,~0{\small ~≦~}y{\small ~≦~}1\)
これより、半径 \(1\) であるので \(\sin \theta=y~,~\cos \theta=x\) とすると、
\(0{\small ~≦~}\sin \theta{\small ~≦~}1~,~-1{\small ~≦~}\cos \theta{\small ~≦~}1\)
また、\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\) より、
\(\tan\) の値は直線 \({\rm OP}\) の傾きと等しくなるので、
\(\theta \neq 90^\circ\) で \(\tan \theta\) はすべての実数値をとる
