- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「sinθ(cosθ)の値と残りの三角比の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜sinθ(cosθ)の値と残りの三角比の値
図形と計量（三角比） 06\(\theta\) を鋭角として、\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\) のとき、\(\sin \theta~,~\)\(\tan \theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
解法のPoint
sinθ(cosθ)の値と残りの三角比の値
Point：sinθ(cosθ)の値と残りの三角比の値
① 角 \(\theta\) の範囲から、三角比の値の正負を調べる。
\(\theta\) が鋭角のとき、
\(\sin \theta \gt 0~,~\cos \theta \gt 0~,~\tan \theta \gt 0\)
② 相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より、\(\cos \theta\)（\(\sin \theta\)）の値を求める。
\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\)
③ 相互関係の公式 \(\tan \theta=\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\) より、\(\tan \theta\) の値を求める。
\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\)
\(\sin \theta\)（または \(\cos \theta\)）の値から、\(\cos \theta\)（または \(\sin \theta\)）と \(\tan \theta\) の値を求め方は、
① 角 \(\theta\) の範囲から、三角比の値の正負を調べる。
\(\theta\) が鋭角のとき、
\(\sin \theta \gt 0~,~\cos \theta \gt 0~,~\tan \theta \gt 0\)
② 相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より、\(\cos \theta\)（\(\sin \theta\)）の値を求める。
\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\)
③ 相互関係の公式 \(\tan \theta=\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\) より、\(\tan \theta\) の値を求める。
\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\)
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詳しい解説｜sinθ(cosθ)の値と残りの三角比の値
図形と計量（三角比） 06\(\theta\) を鋭角として、\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\) のとき、\(\sin \theta~,~\)\(\tan \theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\(\theta\) は鋭角より、
\(\sin \theta \gt 0~,~\cos \theta \gt 0~,~\tan \theta \gt 0\)
相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \theta+\cos^2 \theta&=&1\\[3pt]~~~\sin^2 \theta&=&1-\cos^2 \theta\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \theta&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,25-9\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\end{eqnarray}\)
\(\sin \theta \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
次に、\(\tan \theta\) の相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}{\, \small \div \,}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}~,~\tan \theta=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\) となる
