- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「正弦・余弦の等式と三角形の形状」の基本例題解説ページです。
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問題｜正弦・余弦の等式と三角形の形状
図形と計量（三角比） 29☆\(\triangle {\rm ABC}\) において、等式 \(a\sin {A}=b\sin {B}\) が成り立つ三角形はどのような三角形であるか？また、等式 \(\sin {A}\cos {B}=\sin {C}\) では？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
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正弦・余弦の等式と三角形の形状
解法のPoint
正弦・余弦の等式と三角形の形状
Point：正弦・余弦の等式と三角形の形状正弦・余弦の等式から三角形の形状を決定する方法は、
① 正弦定理・余弦定理を用いて、等式を辺の条件式にする。
・正弦定理
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin {B}\,}=\displaystyle \frac{\,c\,}{\,\sin {C}\,}=2R\)
\(\Leftrightarrow ~\sin {A}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}~,~\sin {B}=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2R\,}\)
\(\hspace{14pt} ~\sin {C}=\displaystyle \frac{\,c\,}{\,2R\,}\)
・余弦定理
\(\cos {A}=\displaystyle \frac{\,b^2+c^2-a^2\,}{\,2bc\,}\)
② 辺の条件式より、三角形の形状を決める。
・ \(a=b\) のとき → 二等辺三角形
・ \(a^2=b^2+c^2\) のとき
→ \(\angle {\rm A}=90^\circ\) の直角三角形
① 正弦定理・余弦定理を用いて、等式を辺の条件式にする。
・正弦定理
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin {B}\,}=\displaystyle \frac{\,c\,}{\,\sin {C}\,}=2R\)
\(\Leftrightarrow ~\sin {A}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}~,~\sin {B}=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2R\,}\)
\(\hspace{14pt} ~\sin {C}=\displaystyle \frac{\,c\,}{\,2R\,}\)
・余弦定理
\(\cos {A}=\displaystyle \frac{\,b^2+c^2-a^2\,}{\,2bc\,}\)
② 辺の条件式より、三角形の形状を決める。
・ \(a=b\) のとき → 二等辺三角形
・ \(a^2=b^2+c^2\) のとき
→ \(\angle {\rm A}=90^\circ\) の直角三角形
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詳しい解説｜正弦・余弦の等式と三角形の形状
図形と計量（三角比） 29☆\(\triangle {\rm ABC}\) において、等式 \(a\sin {A}=b\sin {B}\) が成り立つ三角形はどのような三角形であるか？また、等式 \(\sin {A}\cos {B}=\sin {C}\) では？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\(\triangle {\rm ABC}\) の \(2\) つの角 \({A}~,~{B}\) についての正弦定理より、
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin {B}\,}=2R\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}&=&2R\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,\sin {A}\,}{\,a\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2R\,}\\[5pt]~~~\sin {A}&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin {B}\,}&=&2R\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,\sin {B}\,}{\,b\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2R\,}\\[5pt]~~~\sin {B}&=&\displaystyle \frac{\,b\,}{\,2R\,}\end{eqnarray}\)
これを等式 \(a\sin {A}=b\sin {B}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot \displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}&=&b \cdot \displaystyle \frac{\,b\,}{\,2R\,}\\[5pt]~~~a^2&=&b^2\\[3pt]~~~a&=&b\end{eqnarray}\)
したがって、\(\triangle {\rm ABC}\) は \(a=b\) の二等辺三角形となる
\(\triangle {\rm ABC}\) の \(2\) つの角 \({A}~,~{C}\) についての正弦定理より、
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}=\displaystyle \frac{\,c\,}{\,\sin {C}\,}=2R\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin {A}&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin {C}&=&\displaystyle \frac{\,c\,}{\,2R\,}\end{eqnarray}\)
次に、\({B}\) の余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~b^2&=&c^2+a^2-2ca \cdot \cos {B}\\[3pt]~~~2ca\cos {B}&=&c^2+a^2-b^2\\[3pt]~~~\cos {B}&=&\displaystyle \frac{\,c^2+a^2-b^2\,}{\,2ca\,}\end{eqnarray}\)
これを等式 \(\sin {A}\cos {B}=\sin {C}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2R\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,c^2+a^2-b^2\,}{\,2ca\,}&=&\displaystyle \frac{\,c\,}{\,2R\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,c^2+a^2-b^2\,}{\,2c\,}&=&c\\[5pt]~~~c^2+a^2-b^2&=&2c^2\\[3pt]~~~a^2&=&2c^2-c^2+b^2\\[3pt]~~~a^2&=&b^2+c^2\end{eqnarray}\)
したがって、\(\triangle {\rm ABC}\) は \(\angle {\rm A}=90^\circ\) の直角三角形となる
