- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「sinθ、cosθの等式を満たすθ」の基本例題解説ページです。
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問題｜sinθ、cosθの等式を満たすθ
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
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sinθ、cosθの等式を満たすθ
解法のPoint
sinθ、cosθの等式を満たすθ
① 半径 \(1\) の半円上に、\(y\) 座標が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点をとる。
② \(x\) 軸の正の部分との角が \(\theta\) の値となる。
\(\theta=30^\circ~,~150^\circ\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のときの \(\theta~(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ)\) の値は、
① 半径 \(1\) の半円上に、\(x\) 座標が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点をとる。
② \(x\) 軸の正の部分との角が \(\theta\) の値となる。
\(\theta=60^\circ\)
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詳しい解説｜sinθ、cosθの等式を満たすθ
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、半径 \(1\) の半円上で \(y\) 座標が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点をとると、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形ができるので、この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となるのは、
\(\theta=30^\circ~,~150^\circ\) となる
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点をとると、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形ができるので、この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となるのは、
\(\theta=60^\circ\) となる
\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) より、半径 \(1\) の半円上で \(y\) 座標が \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) となる点をとると、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形ができるので、この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) となるのは、
\(\theta=60^\circ~,~120^\circ\) となる
\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) より、半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) となる点をとると、
\(1:1:\sqrt{\,2\,}\) の直角三角形ができるので、この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) となるのは、
\(\theta=135^\circ\) となる
\(\sin \theta=0\) より、半径 \(1\) の半円上で \(y\) 座標が \(0\) となる点をとると、
この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\sin \theta=0\) となるのは、
\(\theta=0^\circ~,~180^\circ\) となる
\(\sin \theta=1\) より、半径 \(1\) の半円上で \(y\) 座標が \(1\) となる点をとると、
この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\sin \theta=1\) となるのは、
\(\theta=90^\circ\) となる
\(\cos \theta=0\) より、半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(0\) となる点をとると、
この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\cos \theta=0\) となるのは、
\(\theta=90^\circ\) となる
\(\cos \theta=1\) より、半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(1\) となる点をとると、
この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\cos \theta=1\) となるのは、
\(\theta=0^\circ\) となる
\(\cos \theta=-1\) より、半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(-1\) となる点をとると、
この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
したがって、\(\cos \theta=-1\) となるのは、
\(\theta=180^\circ\) となる
