- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「sinθの値(0°≦θ≦180°)と残りの三角比の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜sinθの値(0°≦θ≦180°)と残りの三角比の値
図形と計量（三角比） 19\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) として、\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) のとき、\(\cos \theta~,~\tan \theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
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sinθの値(0°≦θ≦180°)と残りの三角比の値
解法のPoint
sinθの値(0°≦θ≦180°)と残りの三角比の値
Point：sinθの値(0°≦θ≦180°)と残りの三角比の値\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) の \(\sin \theta\) の値から \(\cos \theta\) と \(\tan \theta\) の値の求め方は、
① 相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より、\(\cos^2 \theta\) の値を求める。
\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\)
② \(\theta\) が鋭角 \((0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ)\) か鈍角 \((90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ)\) かで場合分けをし、\(\cos \theta\) の正負から \(\cos \theta\) の値を求める。
\(\small [\,1\,]\) 鋭角 \((0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ)\) のとき、
\(\cos \theta \gt 0~,~\tan \theta \gt 0\)
\(\small [\,2\,]\) 鈍角 \((90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ)\) のとき、
\(\cos \theta \lt 0~,~\tan \theta \lt 0\)
③ 相互関係の公式 \(\tan \theta=\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\) より、\(\tan \theta\) の値を求める。
\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\)
① 相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より、\(\cos^2 \theta\) の値を求める。
\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\)
② \(\theta\) が鋭角 \((0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ)\) か鈍角 \((90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ)\) かで場合分けをし、\(\cos \theta\) の正負から \(\cos \theta\) の値を求める。
\(\small [\,1\,]\) 鋭角 \((0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ)\) のとき、
\(\cos \theta \gt 0~,~\tan \theta \gt 0\)
\(\small [\,2\,]\) 鈍角 \((90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ)\) のとき、
\(\cos \theta \lt 0~,~\tan \theta \lt 0\)
③ 相互関係の公式 \(\tan \theta=\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\) より、\(\tan \theta\) の値を求める。
\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\)
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詳しい解説｜sinθの値(0°≦θ≦180°)と残りの三角比の値
図形と計量（三角比） 19\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) として、\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) のとき、\(\cos \theta~,~\tan \theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
相互関係の公式 \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) より、
\(\cos^2 \theta=1-\sin^2 \theta\)
\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16-1\,}{\,16\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,16\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(0^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) より、
\(\small [\,1\,]\) \(\theta\) が鋭角 \((0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ)\) のとき、
\(\cos \theta \gt 0~,~\tan \theta \gt 0\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&+\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,15\,}{\,16\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}{\, \small \div \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,15\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,15\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) \(\theta\) が鈍角 \((90^\circ \lt \theta \lt 180^\circ)\) のとき、
\(\cos \theta \lt 0~,~\tan \theta \lt 0\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,15\,}{\,16\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
また、相互関係の公式より \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より
\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\sin \theta{\, \small \div \,}\cos \theta\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}{\, \small \div \,}\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}\right)\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,15\,}\,}\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,15\,}\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}~,~\tan \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,15\,}\,}\)
または、
\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}~,~\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,15\,}\,}\)
となる
