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問題｜正四面体に内接する球の半径
図形と計量（三角比） 44☆\(1\) 辺の長さ \(2\) の正四面体 \({\rm ABCD}\) に内接する球の半径 \(r\) と球の体積の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
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正四面体に内接する球の半径
解法のPoint
正四面体に内接する球の半径
Point：正四面体に内接する球の半径正四面体に内接する球の半径 \(r\) は、
① 辺 \({\rm BC}\) の中点 \({\rm M}\) より、\({\rm AM}\) と \({\rm DM}\) の長さをそれぞれ求める。
正三角形より、\({\rm AM}={\rm DM}=\sqrt{\,3\,}\)
② \(\triangle {\rm AMD}\) について、余弦定理より、\(\cos \angle {\rm ADM}\) を求める。
③ 相互関係の公式より、\(\sin \angle {\rm ADM}\) の値を求め、直角三角形 \({\rm ADH}\) の正弦より、\({\rm AH}\) の長さを求める。
\({\rm AH}={\rm AD} \cdot \sin \angle {\rm ADM}\)
④ 底面を \(\triangle {\rm BCD}\) とし、\({\rm AH}\) を高さとして、正四面体の体積を求める。
⑤ 正四面体 \({\rm ABCD}\) を内接する球の中心 \({\rm O}\) から \(4\) つの合同な四面体に分けて、半径 \(r\) を求める。
内接する球の中心を \({\rm O}\) とすると、\({\rm O}\) から正四面体の各面に下ろした垂線の長さは等しい。
正四面体を \({\rm O}\) を頂点とする \(4\) つの合同な四面体に分けると、
（四面体 \({\rm OBCD}\) の体積）
\(=\)（正四面体 \({\rm ABCD}\) の体積）\({\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
これから、半径 \(r\) を求める。
① 辺 \({\rm BC}\) の中点 \({\rm M}\) より、\({\rm AM}\) と \({\rm DM}\) の長さをそれぞれ求める。
正三角形より、\({\rm AM}={\rm DM}=\sqrt{\,3\,}\)
② \(\triangle {\rm AMD}\) について、余弦定理より、\(\cos \angle {\rm ADM}\) を求める。
③ 相互関係の公式より、\(\sin \angle {\rm ADM}\) の値を求め、直角三角形 \({\rm ADH}\) の正弦より、\({\rm AH}\) の長さを求める。
\({\rm AH}={\rm AD} \cdot \sin \angle {\rm ADM}\)
④ 底面を \(\triangle {\rm BCD}\) とし、\({\rm AH}\) を高さとして、正四面体の体積を求める。
⑤ 正四面体 \({\rm ABCD}\) を内接する球の中心 \({\rm O}\) から \(4\) つの合同な四面体に分けて、半径 \(r\) を求める。
内接する球の中心を \({\rm O}\) とすると、\({\rm O}\) から正四面体の各面に下ろした垂線の長さは等しい。
正四面体を \({\rm O}\) を頂点とする \(4\) つの合同な四面体に分けると、
（四面体 \({\rm OBCD}\) の体積）
\(=\)（正四面体 \({\rm ABCD}\) の体積）\({\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
これから、半径 \(r\) を求める。
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詳しい解説｜正四面体に内接する球の半径
図形と計量（三角比） 44☆\(1\) 辺の長さ \(2\) の正四面体 \({\rm ABCD}\) に内接する球の半径 \(r\) と球の体積の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
点 \({\rm A}\) から \(\triangle {\rm BCD}\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) 、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) とすると、
正三角形 \({\rm ABC}\) において、
\(\triangle {\rm ABM}\) は \(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形より、
\({\rm AM}=\sqrt{\,3\,}\)
同じく、正三角形 \({\rm DBC}\) も同様に、
\({\rm DM}=\sqrt{\,3\,}\)
よって、\(\triangle {\rm AMD}\) の \(\angle {\rm D}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~(\sqrt{\,3\,})^2&=&(\sqrt{\,3\,})^2+2^2-2 \cdot \sqrt{\,3\,} \cdot 2 \cdot \cos \angle {\rm ADM}\\[3pt]~~~3&=&3+4-4\sqrt{\,3\,}\cos \angle {\rm ADM}\\[3pt]~~~4\sqrt{\,3\,}\cos \angle {\rm ADM}&=&4\\[5pt]~~~\cos \angle {\rm ADM}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4\sqrt{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~\cos \angle {\rm ADM}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \angle {\rm ADM}&=&1-\cos^2 \angle {\rm ADM}\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3-1\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\sin \angle {\rm ADM} \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \angle {\rm ADM}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
ここで、直角三角形 \({\rm ADH}\) の正弦より、
\(\sin \angle {\rm ADM}=\displaystyle \frac{\,{\rm AH}\,}{\,{\rm AD}\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AH}&=&{\rm AD} \cdot \sin \angle {\rm ADM}\\[5pt]~~~&=&2 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\triangle {\rm DBC}\) の面積は、底辺 \({\rm BC}=2\) 、高さ \({\rm DM}=\sqrt{\,3\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm DBC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} {\, \small \times \,} 2 {\, \small \times \,} \sqrt{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
これより、正四面体の体積 \(V\) は、底面を \(\triangle {\rm DBC}=\sqrt{\,3\,}\) 、高さ \({\rm AH}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~V&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \sqrt{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,18\,}\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\sqrt{\,2\,}\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
内接する球の中心を \({\rm O}\) とすると、\({\rm O}\) から正四面体の各面に下ろした垂線の長さは等しい
よって、正四面体を \({\rm O}\) を頂点とする \(4\) つの合同な四面体に分けると、
三角錐 \({\rm OBCD}\) は底面が \(\triangle {\rm DBC}=\sqrt{\,3\,}\) 、高さが \({\rm OH}=r\) となり、正四面体 \({\rm ABCD}\) の体積の \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \sqrt{\,3\,} {\, \small \times \,} r&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,3\,}r&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,2\,}\,}{\,12\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,3\,}r&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,6\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\sqrt{\,3\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
また、内接する球の体積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi r^3&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi \left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,6\,}\right)^3\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,6\sqrt{\,6\,}\,}{\,216\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,36\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,6\,}\,}{\,108\,}\pi\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,27\,}\pi\end{eqnarray}\)
したがって、
\(r=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,6\,}~,~\)球の体積は \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,27\,}\pi\) となる
