- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「三角錐の高さの測量」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角錐の高さの測量
図形と計量（三角比） 43\(400\,({\rm m})\) 離れた \(2\) 地点 \({\rm A}~,~\)\({\rm B}\) があり、\({\rm A}\) から高さ \({\rm PH}\) のタワーの先端 \({\rm P}\) を見ると仰角が \(60^\circ\) で、\(\angle {\rm HAB}=75^\circ~,~\)\(\angle {\rm HBA}=45^\circ\) であったとき、タワーの高さ \({\rm PH}\) の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
解法のPoint
三角錐の高さの測量
Point：三角錐の高さの測量三角錐の高さの測量は、
① 底面の辺 \({\rm AH}\) の長さを正弦定理により求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AH}\,}{\,\sin 45^\circ\,}&=&\displaystyle \frac{\,400\,}{\,\sin 60^\circ\,}
\\[5pt]~~~{\rm AH}&=&\displaystyle \frac{\,400\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
② 直角三角形 \({\rm PAH}\) の正接より、高さ \({\rm PH}\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\tan 60^\circ&=&\displaystyle \frac{\,{\rm PH}\,}{\,{\rm AH}\,}
\\[5pt]~~~{\rm PH}&=&{\rm AH} \cdot \tan 60^\circ \fallingdotseq 564~{\rm m}\end{eqnarray}\)
① 底面の辺 \({\rm AH}\) の長さを正弦定理により求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AH}\,}{\,\sin 45^\circ\,}&=&\displaystyle \frac{\,400\,}{\,\sin 60^\circ\,}
\\[5pt]~~~{\rm AH}&=&\displaystyle \frac{\,400\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
② 直角三角形 \({\rm PAH}\) の正接より、高さ \({\rm PH}\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\tan 60^\circ&=&\displaystyle \frac{\,{\rm PH}\,}{\,{\rm AH}\,}
\\[5pt]~~~{\rm PH}&=&{\rm AH} \cdot \tan 60^\circ \fallingdotseq 564~{\rm m}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜三角錐の高さの測量
図形と計量（三角比） 43\(400\,({\rm m})\) 離れた \(2\) 地点 \({\rm A}~,~\)\({\rm B}\) があり、\({\rm A}\) から高さ \({\rm PH}\) のタワーの先端 \({\rm P}\) を見ると仰角が \(60^\circ\) で、\(\angle {\rm HAB}=75^\circ~,~\)\(\angle {\rm HBA}=45^\circ\) であったとき、タワーの高さ \({\rm PH}\) の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\(\triangle {\rm ABH}\) の内角の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm AHB}&=&180^\circ-(75^\circ+45^\circ)\\[3pt]~~~&=&180^\circ-120^\circ\\[3pt]~~~&=&60^\circ\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm ABH}\) の \(\angle {\rm B}\) と \(\angle {\rm H}\) の正弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AH}\,}{\,\sin 45^\circ\,}&=&\displaystyle \frac{\,400\,}{\,\sin 60^\circ\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AH} {\, \small \times \,} \sin 60^\circ&=&400 {\, \small \times \,} \sin 45^\circ\\[5pt]~~~{\rm AH} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}&=&400 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~{\rm AH}&=&400 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~{\rm AH}&=&\displaystyle \frac{\,800\,}{\,\sqrt{\,6\,}\,}\\[5pt]~~~{\rm AH}&=&\displaystyle \frac{\,800\,}{\,\sqrt{\,6\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,\sqrt{\,6\,}\,}\\[5pt]~~~{\rm AH}&=&\displaystyle \frac{\,800\sqrt{\,6\,}\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~{\rm AH}&=&\displaystyle \frac{\,400\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\triangle {\rm PAH}\) の正接より、
\(\tan 60^\circ=\displaystyle \frac{\,{\rm PH}\,}{\,{\rm AH}\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PH}&=&{\rm AH} {\, \small \times \,} \tan 60^\circ\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,400\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \sqrt{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,400 {\, \small \times \,} 3\sqrt{\,2\,}\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&400\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\sqrt{\,2\,} \fallingdotseq 1.41\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PH}&\fallingdotseq&400 {\, \small \times \,} 1.41\\[3pt]~~~&=&564\end{eqnarray}\)
したがって、約 \(564~{\rm m}\) となる
