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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(1\) 辺の長さが \(a\) の正四面体 \({\rm ABCD}\) の体積を \(V\) 、表面積を \(S\) とする。
\({\small (1)}~\)体積 \(V\) を求めよ。
\({\small (2)}~\)この四面体に内接する球の半径を \(r\) とすると、\(V=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}rS\) が成り立つことを示せ。
\({\small (3)}~\)内接する球の半径 \(r\) と体積 \(V^{\prime}\) を求めよ。
\({\small (1)}~\)体積 \(V\) を求めよ。
\({\small (2)}~\)この四面体に内接する球の半径を \(r\) とすると、\(V=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}rS\) が成り立つことを示せ。
\({\small (3)}~\)内接する球の半径 \(r\) と体積 \(V^{\prime}\) を求めよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.173 演習問題B 10
\({\small (1)}~\)点 \({\rm A}\) から \(\triangle {\rm BCD}\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) 、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) とすると、
正三角形 \({\rm ABC}\) において、
\(\triangle {\rm ABM}\) は \(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形より、
\({\rm AM}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}a\)
同じく、正三角形 \({\rm DBC}\) も同様に、
\({\rm DM}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}a\)
よって、\(\triangle {\rm AMD}\) の \(\angle {\rm D}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \angle {\rm ADM}&=&\displaystyle \frac{\,{\rm DM}^2+{\rm AD}^2-{\rm AM}^2\,}{\,2 \cdot {\rm DM} \cdot {\rm AD}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}a\right)^2+a^2-\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}a\right)^2\,}{\,2 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}a \cdot a\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,a^2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \angle {\rm ADM}&=&1-\cos^2 \angle {\rm ADM}\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3-1\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\sin \angle {\rm ADM} \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \angle {\rm ADM}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
ここで、直角三角形 \({\rm ADH}\) の正弦より、
\(\sin \angle {\rm ADM}=\displaystyle \frac{\,{\rm AH}\,}{\,{\rm AD}\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AH}&=&{\rm AD} \cdot \sin \angle {\rm ADM}\\[5pt]~~~&=&a {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}a\end{eqnarray}\)
よって、\(\triangle {\rm BCD}\) の面積は、底辺 \({\rm BC}=a\) 、高さ \({\rm DM}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}a\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm BCD}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} {\, \small \times \,} a {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}a\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}a^2\end{eqnarray}\)
これより、正四面体の体積 \(V\) は、底面を \(\triangle {\rm BCD}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}a^2\) 、高さ \({\rm AH}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}a\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~V&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}a^2 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}a\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,18\,}\,}{\,36\,}a^3\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,2\,}\,}{\,36\,}a^3\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,12\,}a^3\end{eqnarray}\)
したがって、\(V=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,12\,}a^3\) となる
\({\small (2)}~\)[証明] 内接する球の中心を \({\rm O}\) とすると、\({\rm O}\) から正四面体の各面に下ろした垂線の長さは、すべて半径 \(r\) で等しい
よって、正四面体を \({\rm O}\) を頂点とし、\(4\) つの面を底面とする \(4\) つの三角錐に分けると、
各三角錐は底面が正四面体の \(1\) つの面、高さが \(r\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~V&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \triangle {\rm BCD} {\, \small \times \,} r+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \triangle {\rm ACD} {\, \small \times \,} r+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \triangle {\rm ABD} {\, \small \times \,} r+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \triangle {\rm ABC} {\, \small \times \,} r\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}r(\triangle {\rm BCD}+\triangle {\rm ACD}+\triangle {\rm ABD}+\triangle {\rm ABC})\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(4\) つの面の面積の和は表面積 \(S\) なので、
\(\triangle {\rm BCD}+\triangle {\rm ACD}+\triangle {\rm ABD}+\triangle {\rm ABC}=S\)
したがって、\(V=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}rS\) が成り立つ [終]
\({\small (3)}~\)正四面体の表面積 \(S\) は、\(1\) 辺 \(a\) の正三角形 \(4\) つ分なので、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&4 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}a^2\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,3\,}\,a^2\end{eqnarray}\)
よって、\(V=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}rS\) に \(V=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,12\,}a^3\) 、\(S=\sqrt{\,3\,}\,a^2\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,12\,}a^3&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}r {\, \small \times \,} \sqrt{\,3\,}\,a^2\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,12\,}a^3&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,3\,}a^2 r\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,12\,}a^3 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,a^2\,}\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\sqrt{\,3\,}\,}a\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\sqrt{\,3\,}\,}a {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,12\,}a\end{eqnarray}\)
また、内接する球の体積 \(V^{\prime}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~V^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi r^3\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi \left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,12\,}a\right)^3\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,6\sqrt{\,6\,}\,}{\,1728\,}a^3\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,288\,}a^3\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,6\,}\,}{\,864\,}\pi a^3\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,216\,}\pi a^3\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,12\,}a~,~\)球の体積 \(V^{\prime}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,216\,}\pi a^3\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(1\) 辺の長さが \(1\) の正四面体 \({\rm ABCD}\) に内接する球の中心を \({\rm O}\) とする。
\({\small (1)}~\)正四面体 \({\rm ABCD}\) の体積 \(V\) を求めよ。
\({\small (2)}~\)四面体 \({\rm OBCD}\) の体積 \(V^{\prime}\) を求めよ。
\({\small (3)}~\)球の半径 \(r\) を求めよ。
\({\small (1)}~\)正四面体 \({\rm ABCD}\) の体積 \(V\) を求めよ。
\({\small (2)}~\)四面体 \({\rm OBCD}\) の体積 \(V^{\prime}\) を求めよ。
\({\small (3)}~\)球の半径 \(r\) を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.166 章末問題B 9
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.169 章末問題B 9
\({\small (1)}~\)点 \({\rm A}\) から \(\triangle {\rm BCD}\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) 、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) とすると、
正三角形 \({\rm ABC}\) において、
\(\triangle {\rm ABM}\) は \(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形より、
\({\rm AM}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\)
同じく、正三角形 \({\rm DBC}\) も同様に、
\({\rm DM}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\)
よって、\(\triangle {\rm AMD}\) の \(\angle {\rm D}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \angle {\rm ADM}&=&\displaystyle \frac{\,{\rm DM}^2+{\rm AD}^2-{\rm AM}^2\,}{\,2 \cdot {\rm DM} \cdot {\rm AD}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\right)^2+1^2-\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\right)^2\,}{\,2 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \angle {\rm ADM}&=&1-\cos^2 \angle {\rm ADM}\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3-1\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\sin \angle {\rm ADM} \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \angle {\rm ADM}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
ここで、直角三角形 \({\rm ADH}\) の正弦より、
\(\sin \angle {\rm ADM}=\displaystyle \frac{\,{\rm AH}\,}{\,{\rm AD}\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AH}&=&{\rm AD} \cdot \sin \angle {\rm ADM}\\[5pt]~~~&=&1 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\triangle {\rm BCD}\) の面積は、底辺 \({\rm BC}=1\) 、高さ \({\rm DM}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm BCD}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} {\, \small \times \,} 1 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
これより、正四面体の体積 \(V\) は、底面を \(\triangle {\rm BCD}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}\) 、高さ \({\rm AH}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~V&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,18\,}\,}{\,36\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,2\,}\,}{\,36\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(V=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,12\,}\) となる
\({\small (2)}~\)内接する球の中心 \({\rm O}\) から正四面体の各面に下ろした垂線の長さは等しく、すべて半径 \(r\) なので、正四面体を \({\rm O}\) を頂点とする \(4\) つの合同な四面体に分けると、
四面体 \({\rm OBCD}\) は正四面体 \({\rm ABCD}\) の \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) となる、
\(\begin{eqnarray}~~~V^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}V\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,12\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,48\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(V^{\prime}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,48\,}\) となる
\({\small (3)}~\)四面体 \({\rm OBCD}\) は底面が \(\triangle {\rm BCD}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}\) 、高さが半径 \(r\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~V^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,} {\, \small \times \,} r\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,12\,}r\end{eqnarray}\)
\(V^{\prime}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,48\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,12\,}r&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,48\,}\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,48\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,12\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\sqrt{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\sqrt{\,3\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,12\,}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(1\) 辺の長さが \(6\) の正四面体 \({\rm ABCD}\) について、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\)正四面体の体積を求めよ。
\({\small (2)}~\)正四面体に内接する球の中心を \({\rm O}\) とする。正四面体の体積が \(4\) つの四面体 \({\rm ABCO}~,~{\rm ACDO}~,~{\rm ABDO}~,~{\rm BCDO}\) の体積の和であることを用いて、球の半径 \(r\) を求めよ。
\({\small (1)}~\)正四面体の体積を求めよ。
\({\small (2)}~\)正四面体に内接する球の中心を \({\rm O}\) とする。正四面体の体積が \(4\) つの四面体 \({\rm ABCO}~,~{\rm ACDO}~,~{\rm ABDO}~,~{\rm BCDO}\) の体積の和であることを用いて、球の半径 \(r\) を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.169 練習問題B 10
\({\small (1)}~\)点 \({\rm A}\) から \(\triangle {\rm BCD}\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) 、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) とすると、
正三角形 \({\rm ABC}\) において、
\(\triangle {\rm ABM}\) は \(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形より、
\({\rm AM}=3\sqrt{\,3\,}\)
同じく、正三角形 \({\rm DBC}\) も同様に、
\({\rm DM}=3\sqrt{\,3\,}\)
よって、\(\triangle {\rm AMD}\) の \(\angle {\rm D}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \angle {\rm ADM}&=&\displaystyle \frac{\,{\rm DM}^2+{\rm AD}^2-{\rm AM}^2\,}{\,2 \cdot {\rm DM} \cdot {\rm AD}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(3\sqrt{\,3\,})^2+6^2-(3\sqrt{\,3\,})^2\,}{\,2 \cdot 3\sqrt{\,3\,} \cdot 6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,36\,}{\,36\sqrt{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \angle {\rm ADM}&=&1-\cos^2 \angle {\rm ADM}\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\right)^2\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3-1\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\sin \angle {\rm ADM} \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \angle {\rm ADM}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
ここで、直角三角形 \({\rm ADH}\) の正弦より、
\(\sin \angle {\rm ADM}=\displaystyle \frac{\,{\rm AH}\,}{\,{\rm AD}\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AH}&=&{\rm AD} \cdot \sin \angle {\rm ADM}\\[5pt]~~~&=&6 {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,6\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\triangle {\rm BCD}\) の面積は、底辺 \({\rm BC}=6\) 、高さ \({\rm DM}=3\sqrt{\,3\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm BCD}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} {\, \small \times \,} 6 {\, \small \times \,} 3\sqrt{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&9\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
これより、正四面体の体積 \(V\) は、底面を \(\triangle {\rm BCD}=9\sqrt{\,3\,}\) 、高さ \({\rm AH}=2\sqrt{\,6\,}\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~V&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} 9\sqrt{\,3\,} {\, \small \times \,} 2\sqrt{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&6\sqrt{\,18\,}\\[5pt]~~~&=&18\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(V=18\sqrt{\,2\,}\) となる
\({\small (2)}~\)内接する球の中心 \({\rm O}\) から正四面体の各面に下ろした垂線の長さは等しく、すべて半径 \(r\) なので、正四面体の体積 \(V\) は、\(4\) つの四面体 \({\rm ABCO}~,~{\rm ACDO}~,~{\rm ABDO}~,~{\rm BCDO}\) の体積の和であり、
各四面体は底面が正四面体の \(1\) つの面（面積 \(9\sqrt{\,3\,}\)）、高さが \(r\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~V&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} 9\sqrt{\,3\,} {\, \small \times \,} r {\, \small \times \,} 4\\[5pt]~~~&=&12\sqrt{\,3\,}\,r\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(V=18\sqrt{\,2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~12\sqrt{\,3\,}\,r&=&18\sqrt{\,2\,}\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,18\sqrt{\,2\,}\,}{\,12\sqrt{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\sqrt{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\sqrt{\,3\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,\sqrt{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,6\,}\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}\) となる
