- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「正弦定理と外接円の半径」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜正弦定理と外接円の半径
図形と計量（三角比） 24\(\triangle {\rm ABC}\) において、\({A}=45^\circ~,~\)\({C}=75^\circ~,~\)\(a=4\) のとき、\(b\) の長さと外接円の半径 \(R\) の求め方は？また、\(\triangle {\rm ABC}\) において、\({C}=30^\circ~,~\)\(a=2~,~\)\(c=\sqrt{2}\) のとき、\({B}\) の大きさの求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
解法のPoint
正弦定理と外接円の半径
Point：正弦定理と外接円の半径
正弦定理
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin {B}\,}=\displaystyle \frac{\,c\,}{\,\sin {C}\,}\)
※ \(2\) 組の対辺・対角のうち、\(1\) つがわかっていないとき、正弦定理を用いる。
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}=2R\)
※ どこの対辺・対角の組を使ってもよい。
\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \(a~,~b~,~c\) と角 \({A}~,~{B}~,~{C}\) について、
正弦定理
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin {B}\,}=\displaystyle \frac{\,c\,}{\,\sin {C}\,}\)
※ \(2\) 組の対辺・対角のうち、\(1\) つがわかっていないとき、正弦定理を用いる。
また、\(\triangle {\rm ABC}\) の外接円の半径を \(R\) とすると、
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}=2R\)
※ どこの対辺・対角の組を使ってもよい。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜正弦定理と外接円の半径
図形と計量（三角比） 24\(\triangle {\rm ABC}\) において、\({A}=45^\circ~,~\)\({C}=75^\circ~,~\)\(a=4\) のとき、\(b\) の長さと外接円の半径 \(R\) の求め方は？また、\(\triangle {\rm ABC}\) において、\({C}=30^\circ~,~\)\(a=2~,~\)\(c=\sqrt{2}\) のとき、\({B}\) の大きさの求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和は \(180^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{B}&=&180^\circ-({A}+{C})\\[3pt]~~~&=&180^\circ-(45^\circ+75^\circ)\\[3pt]~~~&=&180^\circ-120^\circ\\[3pt]~~~&=&60^\circ\end{eqnarray}\)
次に、\(\angle {\rm A}\) と \(\angle {\rm B}\) についての正弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}&=&\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin {B}\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sin 45^\circ\,}&=&\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin 60^\circ\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin 60^\circ\,}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sin 45^\circ\,}\\[5pt]~~~b \cdot \sin 45^\circ&=&4 \cdot \sin 60^\circ\\[5pt]~~~b \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}&=&4 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~b&=&2\sqrt{3}{\, \small \times \,}\sqrt{2}\\[3pt]~~~b&=&2\sqrt{6}\end{eqnarray}\)
次に、外接円の半径を \(R\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~2R&=&\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}\\[5pt]~~~2R&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sin 45^\circ\,}\\[5pt]~~~2R&=&4{\, \small \div \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\\[5pt]~~~2R&=&4{\, \small \times \,}\sqrt{2}\\[3pt]~~~R&=&2\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
したがって、\(b=2\sqrt{6}~,~R=2\sqrt{2}\) となる
\(\angle {\rm A}\) と \(\angle {\rm C}\) についての正弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}&=&\displaystyle \frac{\,c\,}{\,\sin {C}\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sin {A}\,}&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sin 30^\circ\,}\\[5pt]~~~2 \cdot \sin 30^\circ&=&\sqrt{2} \cdot \sin {A}\\[3pt]~~~2{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&\sqrt{2}~\sin {A}\\[5pt]~~~\sqrt{2}~\sin {A}&=&1\\[5pt]~~~\sin {A}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\end{eqnarray}\)
\(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) より、半径 \(1\) の半円上で \(y\) 座標が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) となる点は、
\(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形ができるので、\(x\) 軸の正の部分となす角より、
\({A}=45^\circ~,~135^\circ\)
\({\small [\,1\,]}~\)\({A}=45^\circ\) のとき、\(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和が \(180^\circ\) より
\(\begin{eqnarray}~~~{B}&=&180^\circ-({A}+{C})\\[3pt]~~~&=&180^\circ-(45^\circ+30^\circ)\\[3pt]~~~&=&180^\circ-75^\circ\\[3pt]~~~&=&105^\circ\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}~\)\({A}=135^\circ\) のとき、\(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和が \(180^\circ\) より
\(\begin{eqnarray}~~~{B}&=&180^\circ-({A}+{C})\\[3pt]~~~&=&180^\circ-(135^\circ+30^\circ)\\[3pt]~~~&=&180^\circ-165^\circ\\[3pt]~~~&=&15^\circ\end{eqnarray}\)
したがって、\({B}=105^\circ\) または \({B}=15^\circ\) となる
