- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「三角形の内角と90°-θの三角比」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角形の内角と90°-θの三角比
図形と計量（三角比） 09\(\triangle {\rm ABC}\) の内角 \({A}~,~\)\({B}~,~\)\({C}\) において、\(\sin \displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}=\cos \displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}~,~\)\(\tan \displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,} \cdot \tan \displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}=1\) の証明方法は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
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三角形の内角と90°-θの三角比
解法のPoint
三角形の内角と90°-θの三角比
Point：三角形の内角と90°-θの三角比\(\triangle {\rm ABC}\) の内角 \({A}~,~{B}~,~{C}\) の三角比を用いた等式の証明は、
内角の和 \({A}+{B}+{C}=180^\circ\) より、
\(\displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}=90^\circ-\displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}\)
これと、\(90^\circ-\theta\) の三角比の公式
\(\sin (90^\circ-\theta)=\cos \theta\)
\(\cos (90^\circ-\theta)=\sin \theta\)
\(\tan (90^\circ-\theta)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan \theta\,}\)
これらを用いて証明する。
内角の和 \({A}+{B}+{C}=180^\circ\) より、
\(\displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}=90^\circ-\displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}\)
これと、\(90^\circ-\theta\) の三角比の公式
\(\sin (90^\circ-\theta)=\cos \theta\)
\(\cos (90^\circ-\theta)=\sin \theta\)
\(\tan (90^\circ-\theta)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan \theta\,}\)
これらを用いて証明する。
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詳しい解説｜三角形の内角と90°-θの三角比
図形と計量（三角比） 09\(\triangle {\rm ABC}\) の内角 \({A}~,~\)\({B}~,~\)\({C}\) において、\(\sin \displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}=\cos \displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}~,~\)\(\tan \displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,} \cdot \tan \displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}=1\) の証明方法は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~{A}+{B}+{C}&=&180^\circ\\[3pt]~~~{B}+{C}&=&180^\circ-{A}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,180^\circ-{A}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}&=&90^\circ-\displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}&=&\cos \left(90^\circ-\displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
ここで、\(\cos (90^\circ-\theta)=\sin \theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \left(90^\circ-\displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}\right)&=&\sin \displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\sin \displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}=\cos \displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}\) となる
次に、\(\displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}=90^\circ-\displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\tan \displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,} \cdot \tan \displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\tan \displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,} \cdot \tan \left(90^\circ-\displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
ここで、\(\tan (90^\circ-\theta)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan \theta\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\tan \displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan \displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}\,}\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\tan \displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,} \cdot \tan \displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}=1\) となる
