- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「三角比の等式の証明」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜三角比の等式の証明
図形と計量（三角比） 21三角比の等式 \(\tan \theta+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan \theta\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin \theta \cos \theta\,}\) の証明方法は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
解法のPoint
三角比の等式の証明
Point：三角比の等式の証明相互関係の公式を用いた等式の証明は、
① \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、\(\tan \theta\) を \(\sin \theta\) と \(\cos \theta\) に変換する。
\(\tan \theta+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan \theta\,}=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}+\displaystyle \frac{\,\cos \theta\,}{\,\sin \theta\,}\)
② 通分して計算し、\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) を用いて整理する。
① \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、\(\tan \theta\) を \(\sin \theta\) と \(\cos \theta\) に変換する。
\(\tan \theta+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan \theta\,}=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}+\displaystyle \frac{\,\cos \theta\,}{\,\sin \theta\,}\)
② 通分して計算し、\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) を用いて整理する。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜三角比の等式の証明
図形と計量（三角比） 21三角比の等式 \(\tan \theta+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan \theta\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin \theta \cos \theta\,}\) の証明方法は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
[証明] \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan \theta\,}=\displaystyle \frac{\,\cos \theta\,}{\,\sin \theta\,}\) であるので、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\tan \theta+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan \theta\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}+\displaystyle \frac{\,\cos \theta\,}{\,\sin \theta\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2 \theta\,}{\,\sin \theta \cos \theta\,}+\displaystyle \frac{\,\cos^2 \theta\,}{\,\sin \theta \cos \theta\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2 \theta+\cos^2 \theta\,}{\,\sin \theta \cos \theta\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin \theta \cos \theta\,}\hspace{25pt}(\,∵~\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\,)\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\tan \theta+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan \theta\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin \theta \cos \theta\,}\) [終]
