余弦定理と三角形の辺と角

2026.06.01

数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「余弦定理と三角形の辺と角」の基本例題解説ページです。
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問題｜余弦定理と三角形の辺と角
解法のPoint
1. 余弦定理と三角形の辺と角
詳しい解説｜余弦定理と三角形の辺と角

問題｜余弦定理と三角形の辺と角

図形と計量（三角比） 25\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(b=3~,~\)\(c=8~,~\)\({A}=60^\circ\) のとき、\(a\) の求め方は？また、\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(b=\sqrt{7}~,~\)\(c=3~,~\)\({B}=60^\circ\) のとき、\(a\) の求め方は？さらに、\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(a=5~,~\)\(b=3~,~\)\(c=7\) のとき、\({C}\) の求め方は？

高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）

解法のPoint

余弦定理と三角形の辺と角

Point：余弦定理と三角形の辺と角

\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \(a~,~b~,~c\) と角 \({A}~,~{B}~,~{C}\) について、

余弦定理

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos {A}\)

※ \(3\) つの辺と \(1\) つの角のうち、\(1\) つがわかっていないとき、余弦定理を用いる。

※ 他の角 \({B}~,~{C}\) についても同様の式が成り立つ。

　　\(b^2=c^2+a^2-2ca\cos {B}\)

　　\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos {C}\)

また、角 \({A}\) を求めるときは余弦定理を変形した式を用いてもよい。

\(\cos {A}=\displaystyle \frac{\,b^2+c^2-a^2\,}{\,2bc\,}\)

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詳しい解説｜余弦定理と三角形の辺と角

高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）

\({A}\) についての余弦定理より、

\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos {A}\\[3pt]~~~&=&3^2+8^2-2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ\\[3pt]~~~&=&9+64-2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&9+64-24\\[3pt]~~~&=&49\end{eqnarray}\)

\(a \gt 0\) より、\(a=\sqrt{49}=7\)

したがって、\(a=7\) となる

\({B}\) についての余弦定理より、

\(\begin{eqnarray}~~~b^2&=&c^2+a^2-2ca\cos {B}\\[3pt]~~~(\sqrt{7})^2&=&3^2+a^2-2 \cdot 3 \cdot a \cdot \cos 60^\circ\\[3pt]~~~7&=&9+a^2-6a \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~0&=&2+a^2-3a\end{eqnarray}\)

よって、

\(\begin{eqnarray}~~~a^2-3a+2&=&0\\[3pt]~~~(a-1)(a-2)&=&0\\[3pt]~~~a&=&1~,~2\end{eqnarray}\)

したがって、\(a=1\) または \(a=2\) となる

\({C}\) についての余弦定理より、

\(\begin{eqnarray}~~~c^2&=&a^2+b^2-2ab\cos {C}\\[3pt]~~~7^2&=&5^2+3^2-2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos {C}\\[3pt]~~~49&=&25+9-30\cos {C}\\[3pt]~~~30\cos {C}&=&25+9-49\\[3pt]~~~\cos {C}&=&\displaystyle \frac{\,-15\,}{\,30\,}\\[5pt]~~~\cos {C}&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点は、