- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「正弦定理・余弦定理と三角形の辺と角」の基本例題解説ページです。
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問題｜正弦定理・余弦定理と三角形の辺と角
図形と計量（三角比） 27\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(a=2\sqrt{3}~,~\)\(c=3+\sqrt{3}~,~\)\({B}=60^\circ\) のとき、\(b~,~{A}~,~{C}\) の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
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正弦定理・余弦定理と三角形の辺と角
解法のPoint
正弦定理・余弦定理と三角形の辺と角
Point：正弦定理・余弦定理と三角形の辺と角三角形の辺と角の求め方は、
① 正弦定理・余弦定理を用いて、残りの辺の長さを求める。
正弦定理
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin {B}\,}=\displaystyle \frac{\,c\,}{\,\sin {C}\,}\)
余弦定理
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos {A}\)
② 残りの角は、内角の和が \(180^\circ\) より求める。
① 正弦定理・余弦定理を用いて、残りの辺の長さを求める。
正弦定理
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin {B}\,}=\displaystyle \frac{\,c\,}{\,\sin {C}\,}\)
余弦定理
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos {A}\)
② 残りの角は、内角の和が \(180^\circ\) より求める。
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詳しい解説｜正弦定理・余弦定理と三角形の辺と角
図形と計量（三角比） 27\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(a=2\sqrt{3}~,~\)\(c=3+\sqrt{3}~,~\)\({B}=60^\circ\) のとき、\(b~,~{A}~,~{C}\) の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\({B}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~b^2&=&c^2+a^2-2ca\cos {B}\\[3pt]~~~&=&(3+\sqrt{3})^2+(2\sqrt{3})^2-2(3+\sqrt{3}) \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos 60^\circ\\[3pt]~~~&=&9+6\sqrt{3}+3+12-2(3+\sqrt{3}) \cdot 2\sqrt{3} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&24+6\sqrt{3}-6\sqrt{3}-6\\[3pt]~~~&=&18\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(b \gt 0\) より、\(b=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
次に、\({A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos {A}\\[3pt]~~~(2\sqrt{3})^2&=&(3\sqrt{2})^2+(3+\sqrt{3})^2-2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot (3+\sqrt{3}) \cdot \cos {A}\\[3pt]~~~12&=&18+9+6\sqrt{3}+3-6\sqrt{2}(3+\sqrt{3})\cos {A}\\[3pt]~~~6\sqrt{2}(3+\sqrt{3})\cos {A}&=&18+6\sqrt{3}\\[3pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,6(3+\sqrt{3})\,}{\,6\sqrt{2}(3+\sqrt{3})\,}\\[5pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(\cos {A}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) より、半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) となる点は、
\(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形ができるので、\(x\) 軸の正の部分となす角より、
\({A}=45^\circ\)
次に、内角の和は \(180^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{A}+{B}+{C}&=&180^\circ\\[3pt]~~~{C}&=&180^\circ-({A}+{B})\\[3pt]~~~&=&180^\circ-(45^\circ+60^\circ)\\[3pt]~~~&=&180^\circ-105^\circ\\[3pt]~~~&=&75^\circ\end{eqnarray}\)
したがって、\(b=3\sqrt{2}~,~{A}=45^\circ~,~{C}=75^\circ\) となる
【別解】（\(b=3\sqrt{2}\) まで同じ）
\(\angle {\rm A}\) と \(\angle {\rm B}\) についての正弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\sin {A}\,}&=&\displaystyle \frac{\,b\,}{\,\sin {B}\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\sqrt{3}\,}{\,\sin {A}\,}&=&\displaystyle \frac{\,3\sqrt{2}\,}{\,\sin 60^\circ\,}\\[5pt]~~~2\sqrt{3}{\, \small \times \,}\sin 60^\circ&=&3\sqrt{2}~\sin {A}\\[3pt]~~~3\sqrt{2}~\sin {A}&=&2\sqrt{3}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~\sin {A}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3\sqrt{2}\,}\\[5pt]~~~\sin {A}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\end{eqnarray}\)
\(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) より、半径 \(1\) の半円上で \(y\) 座標が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) となる点は、
\(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形ができるので、\(x\) 軸の正の部分となす角より、
\({A}=45^\circ~,~135^\circ\)
\({A}=135^\circ\) のとき、\({A}+{B}=135^\circ+60^\circ \gt 180^\circ\) となり、内角の和が \(180^\circ\) 以上となり不適
\({A}=45^\circ\) のとき、
内角の和が \(180^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{C}&=&180^\circ-({A}+{B})\\[3pt]~~~&=&180^\circ-(45^\circ+60^\circ)\\[3pt]~~~&=&180^\circ-105^\circ\\[3pt]~~~&=&75^\circ\end{eqnarray}\)
したがって、\(b=3\sqrt{2}~,~{A}=45^\circ~,~{C}=75^\circ\) となる
