- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「三角比の値の大小比較」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角比の値の大小比較
図形と計量（三角比） 14☆三角比 \(\sin 60^\circ~,~\)\(\sin 130^\circ~,~\)\(\sin 150^\circ~,~\)\(\cos 20^\circ~,~\)\(\cos 50^\circ\) を小さい順に並べる方法は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
解法のPoint
三角比の値の大小比較
Point：三角比の値の大小比較三角比の値の大小比較は、
① \(180^\circ-\theta\) や \(90^\circ-\theta\) の三角比を用いて \(90^\circ\) より小さい正弦（\(\sin\)）で表す。
\(\sin(180^\circ-\theta)=\sin \theta\)
\(\cos \theta=\sin(90^\circ-\theta)\)
② \(\theta \lt 90^\circ\) のとき、\(\theta\) の大小と \(\sin \theta\) の大小が一致することを利用して大小比較する。
\(0^\circ \lt \alpha \lt \beta \lt \gamma \lt 90^\circ\) のとき、
\(\sin \alpha \lt \sin \beta \lt \sin \gamma\)
① \(180^\circ-\theta\) や \(90^\circ-\theta\) の三角比を用いて \(90^\circ\) より小さい正弦（\(\sin\)）で表す。
\(\sin(180^\circ-\theta)=\sin \theta\)
\(\cos \theta=\sin(90^\circ-\theta)\)
② \(\theta \lt 90^\circ\) のとき、\(\theta\) の大小と \(\sin \theta\) の大小が一致することを利用して大小比較する。
\(0^\circ \lt \alpha \lt \beta \lt \gamma \lt 90^\circ\) のとき、
\(\sin \alpha \lt \sin \beta \lt \sin \gamma\)
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詳しい解説｜三角比の値の大小比較
図形と計量（三角比） 14☆三角比 \(\sin 60^\circ~,~\)\(\sin 130^\circ~,~\)\(\sin 150^\circ~,~\)\(\cos 20^\circ~,~\)\(\cos 50^\circ\) を小さい順に並べる方法は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\(\sin 60^\circ\) は \(60^\circ\lt 90^\circ\) より、そのままでよい
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 130^\circ&=&\sin(180^\circ-50^\circ)\\[3pt]~~~&=&\sin 50^\circ\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 150^\circ&=&\sin(180^\circ-30^\circ)\\[3pt]~~~&=&\sin 30^\circ\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 20^\circ&=&\cos(90^\circ-70^\circ)\\[3pt]~~~&=&\sin 70^\circ\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 50^\circ&=&\cos(90^\circ-40^\circ)\\[3pt]~~~&=&\sin 40^\circ\end{eqnarray}\)
よって、
\(30^\circ \lt 40^\circ \lt 50^\circ \lt 60^\circ \lt 70^\circ\)
\(\theta\) が \(90^\circ\) より小さい角のとき、\(\theta\) の大小と \(\sin \theta\) の大小は一致するので
\(\sin 30^\circ \lt \sin 40^\circ \lt \sin 50^\circ \lt \sin 60^\circ \lt \sin 70^\circ\)
したがって、
\(\sin 150^\circ \lt \cos 50^\circ \lt \sin 130^\circ \lt \sin 60^\circ \lt \cos 20^\circ\)
※ 数式は横にスクロールできます。
【別解】すべて \(\cos\) （余弦）で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 60^\circ&=&\sin(90^\circ-30^\circ)\\[3pt]~~~&=&\cos 30^\circ\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 130^\circ&=&\sin(180^\circ-50^\circ)\\[3pt]~~~&=&\sin 50^\circ\\[3pt]~~~&=&\sin(90^\circ-40^\circ)\\[3pt]~~~&=&\cos 40^\circ\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 150^\circ&=&\sin(180^\circ-30^\circ)\\[3pt]~~~&=&\sin 30^\circ\\[3pt]~~~&=&\sin(90^\circ-60^\circ)\\[3pt]~~~&=&\cos 60^\circ\end{eqnarray}\)
ここで、
\(20^\circ \lt 30^\circ \lt 40^\circ \lt 50^\circ \lt 60^\circ\)
これより、\(0^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\) の余弦では \(\theta\) の大小と \(\cos\) の大小が逆となるので、
\(\cos 60^\circ \lt \cos 50^\circ \lt \cos 40^\circ \lt \cos 30^\circ \lt \cos 20^\circ\)
したがって、
\(\sin 150^\circ \lt \cos 50^\circ \lt \sin 130^\circ \lt \sin 60^\circ \lt \cos 20^\circ\)
※ 数式は横にスクロールできます。
