- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「三角比の2次方程式とθの値」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角比の2次方程式とθの値
図形と計量（三角比） 18☆\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) のとき、\(4\cos^2 \theta-1=0\) を満たす \(\theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
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三角比の2次方程式とθの値
解法のPoint
三角比の2次方程式とθの値
Point：三角比の2次方程式とθの値三角比の2次方程式の \(\theta\) の値は、
① 三角比の2次方程式の解を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~4\cos^2 \theta-1&=&0\\[3pt]~~~(2\cos \theta+1)(2\cos \theta-1)&=&0\\[3pt]~~~\cos \theta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
② それぞれの \(\cos \theta\) の値から \(\theta\) の値を求める。
\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき \(\theta=120^\circ\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき \(\theta=60^\circ\)
よって、\(\theta=60^\circ~,~120^\circ\)
① 三角比の2次方程式の解を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~4\cos^2 \theta-1&=&0\\[3pt]~~~(2\cos \theta+1)(2\cos \theta-1)&=&0\\[3pt]~~~\cos \theta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
② それぞれの \(\cos \theta\) の値から \(\theta\) の値を求める。
\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき \(\theta=120^\circ\)
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき \(\theta=60^\circ\)
よって、\(\theta=60^\circ~,~120^\circ\)
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詳しい解説｜三角比の2次方程式とθの値
図形と計量（三角比） 18☆\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\) のとき、\(4\cos^2 \theta-1=0\) を満たす \(\theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
左辺を因数分解して \(\cos \theta\) の解を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~4\cos^2 \theta-1&=&0\\[3pt]~~~(2\cos \theta+1)(2\cos \theta-1)&=&0\end{eqnarray}\)
\(2\cos \theta+1=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~2\cos \theta&=&-1\\[3pt]~~~\cos \theta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(2\cos \theta-1=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~2\cos \theta&=&1\\[3pt]~~~\cos \theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点をとると、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形ができるので、この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
よって、\(\theta=120^\circ\)
次に、\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、半径 \(1\) の半円上で \(x\) 座標が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点をとると、
\(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形ができるので、この点と原点を結ぶ線分と \(x\) 軸の正の部分とのなす角が \(\theta\) となる
よって、\(\theta=60^\circ\)
したがって、\(\theta=60^\circ~,~120^\circ\) となる
