- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「共通角の2つの三角形の余弦定理」の基本例題解説ページです。
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問題｜共通角の2つの三角形の余弦定理
図形と計量（三角比） 30☆\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(b=5~,~\)\(c=8~,~\)\({A}=60^\circ\) で辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) とするとき、\({\rm BM}\) の長さ、\(\cos {B}\) の値、\({\rm AM}\) の長さの求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
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共通角の2つの三角形の余弦定理
解法のPoint
共通角の2つの三角形の余弦定理
Point：共通角の2つの三角形の余弦定理共通角の \(2\) つの三角形について、
① \(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm B}\) についての余弦定理を用いる。
\(b^2=c^2+a^2-2ca\cos {B}\)
② \(\triangle {\rm ABM}\) の \(\angle {\rm B}\) についての余弦定理を用いて、連立することで線分 \({\rm AM}\) の長さを求める。
\({\rm AM}^2=c^2+\left(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}\right)^2-2c \cdot \displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,} \cdot \cos {B}\)
① \(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm B}\) についての余弦定理を用いる。
\(b^2=c^2+a^2-2ca\cos {B}\)
② \(\triangle {\rm ABM}\) の \(\angle {\rm B}\) についての余弦定理を用いて、連立することで線分 \({\rm AM}\) の長さを求める。
\({\rm AM}^2=c^2+\left(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}\right)^2-2c \cdot \displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,} \cdot \cos {B}\)
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詳しい解説｜共通角の2つの三角形の余弦定理
図形と計量（三角比） 30☆\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(b=5~,~\)\(c=8~,~\)\({A}=60^\circ\) で辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) とするとき、\({\rm BM}\) の長さ、\(\cos {B}\) の値、\({\rm AM}\) の長さの求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\({\small (1)}~{\rm BM}\) の長さ
\(\angle {\rm A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&b^2+c^2-2bc \cdot \cos {A}\\[3pt]~~~&=&5^2+8^2-2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ\\[3pt]~~~&=&25+64-80 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&89-40\\[3pt]~~~&=&49\end{eqnarray}\)
\(a \gt 0\) より、
\(a=\sqrt{\,49\,}=7\)
よって、\({\rm M}\) は辺 \({\rm BC}\) の中点より、
\({\rm BM}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\cos {B}\) の値
\(\angle {\rm B}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~b^2&=&c^2+a^2-2ca\cos {B}\\[3pt]~~~5^2&=&8^2+7^2-2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cos {B}\\[3pt]~~~112\cos {B}&=&64+49-25\\[3pt]~~~\cos {B}&=&\displaystyle \frac{\,88\,}{\,112\,}\\[5pt]~~~\cos {B}&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,14\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small (3)}~{\rm AM}\) の長さ
\(\triangle {\rm ABM}\) の \(\angle {\rm B}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AM}^2&=&c^2+{\rm BM}^2-2c \cdot {\rm BM} \cdot \cos {B}\\[5pt]~~~&=&8^2+\left(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\right)^2-2 \cdot 8 \cdot \displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,11\,}{\,14\,}\\[5pt]~~~&=&64+\displaystyle \frac{\,49\,}{\,4\,}-44\\[5pt]~~~&=&20+\displaystyle \frac{\,49\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,80+49\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,129\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\rm AM} \gt 0\) より、
\({\rm AM}=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,129\,}{\,4\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,129\,}\,}{\,2\,}\)
したがって、\({\rm BM}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}~,~\cos {B}=\displaystyle \frac{\,11\,}{\,14\,}~,~{\rm AM}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,129\,}\,}{\,2\,}\) となる
