このページは、「共通角の2つの三角形の余弦定理」の練習問題アーカイブページとなります。
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共通角の2つの三角形の余弦定理 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(c=4~,~b=3~,~A=60^\circ\) とし、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) とする。このとき、次のものを求めよ。
\({\small (1)}~{\rm BM}\) の長さ
\({\small (2)}~\cos {B}\) の値
\({\small (3)}~{\rm AM}\) の長さ
\({\small (1)}~{\rm BM}\) の長さ
\({\small (2)}~\cos {B}\) の値
\({\small (3)}~{\rm AM}\) の長さ
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.171 問題 8
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.164 問題 7
\({\small (1)}~{\rm BM}\) の長さ
\(\angle {\rm A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&b^2+c^2-2bc \cdot \cos {A}\\[3pt]~~~&=&3^2+4^2-2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ\\[3pt]~~~&=&9+16-24 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&25-12\\[3pt]~~~&=&13\end{eqnarray}\)
\(a \gt 0\) より、
\(a=\sqrt{\,13\,}\)
よって、\({\rm M}\) は辺 \({\rm BC}\) の中点より、
\({\rm BM}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,13\,}\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\cos {B}\) の値
\(\angle {\rm B}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~b^2&=&c^2+a^2-2ca\cos {B}\\[3pt]~~~3^2&=&4^2+(\sqrt{\,13\,})^2-2 \cdot 4 \cdot \sqrt{\,13\,} \cdot \cos {B}\\[3pt]~~~8\sqrt{\,13\,}\cos {B}&=&16+13-9\\[3pt]~~~\cos {B}&=&\displaystyle \frac{\,20\,}{\,8\sqrt{\,13\,}\,}\\[5pt]~~~\cos {B}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\sqrt{\,13\,}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small (3)}~{\rm AM}\) の長さ
\(\triangle {\rm ABM}\) の \(\angle {\rm B}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AM}^2&=&c^2+{\rm BM}^2-2c \cdot {\rm BM} \cdot \cos {B}\\[5pt]~~~&=&4^2+\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,13\,}\,}{\,2\,}\right)^2-2 \cdot 4 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,13\,}\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\sqrt{\,13\,}\,}\\[5pt]~~~&=&16+\displaystyle \frac{\,13\,}{\,4\,}-10\\[5pt]~~~&=&6+\displaystyle \frac{\,13\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,24+13\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,37\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\rm AM} \gt 0\) より、
\({\rm AM}=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,37\,}{\,4\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,37\,}\,}{\,2\,}\)
したがって、\({\rm BM}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,13\,}\,}{\,2\,}~,~\cos {B}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\sqrt{\,13\,}\,}~,~{\rm AM}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,37\,}\,}{\,2\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(\triangle {\rm ABC}\) において、\(a=4~,~b=\sqrt{\,10\,}~,~c=3\) とする。線分 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) とするとき、次のものを求めよ。
\({\small (1)}~\cos {B}\) の値
\({\small (2)}~\)線分 \({\rm AM}\) の長さ
\({\small (1)}~\cos {B}\) の値
\({\small (2)}~\)線分 \({\rm AM}\) の長さ
数研出版｜新編数学Ⅰ[104-904] p.164 補充問題 4
\({\small (1)}~\cos {B}\) の値
\(\angle {\rm B}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos {B}&=&\displaystyle \frac{\,c^2+a^2-b^2\,}{\,2ca\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3^2+4^2-(\sqrt{\,10\,})^2\,}{\,2 \cdot 3 \cdot 4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9+16-10\,}{\,24\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,15\,}{\,24\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small (2)}~\)線分 \({\rm AM}\) の長さ
\({\rm M}\) は辺 \({\rm BC}\) の中点より、
\({\rm BM}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,2\,}=2\)
\(\triangle {\rm ABM}\) の \(\angle {\rm B}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AM}^2&=&c^2+{\rm BM}^2-2c \cdot {\rm BM} \cdot \cos {B}\\[5pt]~~~&=&3^2+2^2-2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}\\[5pt]~~~&=&9+4-\displaystyle \frac{\,60\,}{\,8\,}\\[5pt]~~~&=&13-\displaystyle \frac{\,15\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,26-15\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,11\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\rm AM} \gt 0\) より、
\({\rm AM}=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,11\,}{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,11\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,22\,}\,}{\,2\,}\)
したがって、\(\cos {B}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}~,~{\rm AM}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,22\,}\,}{\,2\,}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(\triangle {\rm ABC}\) において、\({\rm AB}=4~,~{\rm AC}=3~,~A=60^\circ\) とし、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) とする。このとき、次の値を求めよ。
\({\small (1)}~{\rm BC}\) \({\small (2)}~\cos {B}\) \({\small (3)}~{\rm AM}\)
\({\small (1)}~{\rm BC}\) \({\small (2)}~\cos {B}\) \({\small (3)}~{\rm AM}\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.166 問題 14
\({\small (1)}~{\rm BC}\)
\({\rm BC}=a~,~{\rm AC}=b=3~,~{\rm AB}=c=4\) として、\(\angle {\rm A}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&b^2+c^2-2bc \cdot \cos {A}\\[3pt]~~~&=&3^2+4^2-2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ\\[3pt]~~~&=&9+16-24 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&25-12\\[3pt]~~~&=&13\end{eqnarray}\)
\(a \gt 0\) より、
\({\rm BC}=a=\sqrt{\,13\,}\)
\({\small (2)}~\cos {B}\)
\(\angle {\rm B}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~b^2&=&c^2+a^2-2ca\cos {B}\\[3pt]~~~3^2&=&4^2+(\sqrt{\,13\,})^2-2 \cdot 4 \cdot \sqrt{\,13\,} \cdot \cos {B}\\[3pt]~~~8\sqrt{\,13\,}\cos {B}&=&16+13-9\\[3pt]~~~\cos {B}&=&\displaystyle \frac{\,20\,}{\,8\sqrt{\,13\,}\,}\\[5pt]~~~\cos {B}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\sqrt{\,13\,}\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small (3)}~{\rm AM}\)
\({\rm M}\) は辺 \({\rm BC}\) の中点より、
\({\rm BM}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,13\,}\,}{\,2\,}\)
\(\triangle {\rm ABM}\) の \(\angle {\rm B}\) についての余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AM}^2&=&c^2+{\rm BM}^2-2c \cdot {\rm BM} \cdot \cos {B}\\[5pt]~~~&=&4^2+\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,13\,}\,}{\,2\,}\right)^2-2 \cdot 4 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,13\,}\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\sqrt{\,13\,}\,}\\[5pt]~~~&=&16+\displaystyle \frac{\,13\,}{\,4\,}-10\\[5pt]~~~&=&6+\displaystyle \frac{\,13\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,24+13\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,37\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\rm AM} \gt 0\) より、
\({\rm AM}=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,37\,}{\,4\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,37\,}\,}{\,2\,}\)
したがって、\({\rm BC}=\sqrt{\,13\,}~,~\cos {B}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\sqrt{\,13\,}\,}~,~{\rm AM}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,37\,}\,}{\,2\,}\) となる
