- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「余弦定理と中線定理の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜余弦定理と中線定理の証明
図形と計量（三角比） 31☆\(\triangle {\rm ABC}\) と辺 \({\rm BC}\) の中点 \({\rm M}\) において、等式 \({\rm AB}^2+{\rm AC}^2=2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\) を余弦定理を用いて証明方法は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
解法のPoint
余弦定理と中線定理の証明
Point：余弦定理と中線定理の証明
① \(\angle {\rm AMB}=\theta\) とおき、\(\angle {\rm AMC}=180^\circ-\theta\) より、\(\triangle {\rm AMB}\) と \(\triangle {\rm AMC}\) について余弦定理を立てる。
② \(\cos(180^\circ-\theta)=-\cos \theta\) と \({\rm MC}={\rm BM}\) を用いて、\(2\) 式の和より、中線定理を導く。
余弦定理を用いた中線定理の証明方法は、
① \(\angle {\rm AMB}=\theta\) とおき、\(\angle {\rm AMC}=180^\circ-\theta\) より、\(\triangle {\rm AMB}\) と \(\triangle {\rm AMC}\) について余弦定理を立てる。
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2&=&{\rm AM}^2+{\rm BM}^2-2{\rm AM} \cdot {\rm BM} \cdot \cos \theta
\\[3pt]~~~{\rm AC}^2&=&{\rm AM}^2+{\rm MC}^2-2{\rm AM} \cdot {\rm MC} \cdot \cos(180^\circ-\theta)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~{\rm AC}^2&=&{\rm AM}^2+{\rm MC}^2-2{\rm AM} \cdot {\rm MC} \cdot \cos(180^\circ-\theta)\end{eqnarray}\)
② \(\cos(180^\circ-\theta)=-\cos \theta\) と \({\rm MC}={\rm BM}\) を用いて、\(2\) 式の和より、中線定理を導く。
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詳しい解説｜余弦定理と中線定理の証明
図形と計量（三角比） 31☆\(\triangle {\rm ABC}\) と辺 \({\rm BC}\) の中点 \({\rm M}\) において、等式 \({\rm AB}^2+{\rm AC}^2=2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\) を余弦定理を用いて証明方法は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
[証明]
\(\angle {\rm AMB}=\theta\) とおくと、
\(\triangle {\rm AMB}\) の \(\angle {\rm M}\) についての余弦定理より、
\({\rm AB}^2={\rm AM}^2+{\rm BM}^2-2{\rm AM} \cdot {\rm BM} \cdot \cos \theta~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、\(\angle {\rm AMC}=(180^\circ-\theta)\) より、
\(\triangle {\rm AMC}\) の \(\angle {\rm M}\) についての余弦定理より、
\({\rm AC}^2={\rm AM}^2+{\rm MC}^2-2{\rm AM} \cdot {\rm MC} \cdot \cos(180^\circ-\theta)\)
ここで、\(\cos(180^\circ-\theta)=-\cos \theta\) より、
\({\rm AC}^2={\rm AM}^2+{\rm MC}^2+2{\rm AM} \cdot {\rm MC} \cdot \cos \theta\)
さらに、点 \({\rm M}\) は \({\rm BC}\) の中点より、\({\rm MC}={\rm BM}\)
\({\rm AC}^2={\rm AM}^2+{\rm BM}^2+2{\rm AM} \cdot {\rm BM} \cdot \cos \theta~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
{\rm AB}^2&=&{\rm AM}^2+{\rm BM}^2-2{\rm AM} \cdot {\rm BM} \cdot \cos \theta \\~~
+\big{)}\hspace{10pt}~~~{\rm AC}^2&=&{\rm AM}^2+{\rm BM}^2+2{\rm AM} \cdot {\rm BM} \cdot \cos \theta\\[5pt]
\hline~~~{\rm AB}^2+{\rm AC}^2&=&2{\rm AM}^2+2{\rm BM}^2\\[3pt]~~~{\rm AB}^2+{\rm AC}^2&=&2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\end{eqnarray}\)
{\rm AB}^2&=&{\rm AM}^2+{\rm BM}^2-2{\rm AM} \cdot {\rm BM} \cdot \cos \theta \\~~
+\big{)}\hspace{10pt}~~~{\rm AC}^2&=&{\rm AM}^2+{\rm BM}^2+2{\rm AM} \cdot {\rm BM} \cdot \cos \theta\\[5pt]
\hline~~~{\rm AB}^2+{\rm AC}^2&=&2{\rm AM}^2+2{\rm BM}^2\\[3pt]~~~{\rm AB}^2+{\rm AC}^2&=&2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\({\rm AB}^2+{\rm AC}^2=2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\) [終]
