- 数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）「直角三角形と15°の三角比」の基本例題解説ページです。
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問題｜直角三角形と15°の三角比
図形と計量（三角比） 32☆\({\rm AC}=1~,~\)\({B}=30^\circ~,~\)\({C}=90^\circ\) の直角三角形 \({\rm ABC}\) において、辺 \({\rm BC}\) 上に \({\rm AC}={\rm CD}\) となる点 \({\rm D}\) をとるとき、\(\triangle {\rm ABD}\) の正弦定理と余弦定理を用いて、\(\sin 15^\circ~,~\cos 15^\circ\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
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直角三角形と15°の三角比
解法のPoint
直角三角形と15°の三角比
Point：直角三角形と15°の三角比\(15^\circ\) の三角比の値は、
① \(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形と \(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形より、\(15^\circ\) の角の三角形をつくる。
② \(\triangle {\rm ABD}\) の正弦定理で \(\sin 15^\circ\) を、余弦定理で \(\cos 15^\circ\) を求める。
① \(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形と \(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形より、\(15^\circ\) の角の三角形をつくる。
② \(\triangle {\rm ABD}\) の正弦定理で \(\sin 15^\circ\) を、余弦定理で \(\cos 15^\circ\) を求める。
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詳しい解説｜直角三角形と15°の三角比
図形と計量（三角比） 32☆\({\rm AC}=1~,~\)\({B}=30^\circ~,~\)\({C}=90^\circ\) の直角三角形 \({\rm ABC}\) において、辺 \({\rm BC}\) 上に \({\rm AC}={\rm CD}\) となる点 \({\rm D}\) をとるとき、\(\triangle {\rm ABD}\) の正弦定理と余弦定理を用いて、\(\sin 15^\circ~,~\cos 15^\circ\) の値の求め方は？
高校数学Ⅰ｜図形と計量（三角比）
\({B}=30^\circ~,~{C}=90^\circ\) より、\({A}=60^\circ\)
また、\({\rm AC}={\rm CD}\) かつ \({C}=90^\circ\) より、\(\triangle {\rm ADC}\) は直角二等辺三角形となるので、
\(\angle {\rm ADC}=\angle {\rm CAD}=45^\circ\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm BAD}&=&\angle {\rm BAC}-\angle {\rm CAD}\\[3pt]~~~&=&60^\circ-45^\circ\\[3pt]~~~&=&15^\circ\end{eqnarray}\)
また、\(\triangle {\rm ABC}\) は \(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形で、\({\rm AC}=1\) より、
\({\rm AB}=2~,~{\rm BC}=\sqrt{3}\)
さらに、\(\triangle {\rm ADC}\) は \(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形で、\({\rm AC}=1\) より、
\({\rm CD}=1~,~{\rm AD}=\sqrt{2}\)
よって、\({\rm BD}={\rm BC}-{\rm CD}=\sqrt{3}-1\)
\(\triangle {\rm ABD}\) の \(\angle {\rm A}\) と \(\angle {\rm B}\) についての正弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}-1\,}{\,\sin 15^\circ\,}&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sin 30^\circ\,}\\[5pt]~~~(\sqrt{3}-1) \cdot \sin 30^\circ&=&\sqrt{2} \cdot \sin 15^\circ\\[3pt]~~~(\sqrt{3}-1) \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&\sqrt{2} \cdot \sin 15^\circ\\[5pt]~~~\sqrt{2}~\sin 15^\circ&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}-1\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~\sin 15^\circ&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}-1\,}{\,2\sqrt{2}\,}\\[5pt]~~~\sin 15^\circ&=&\displaystyle \frac{\,(\sqrt{3}-1){\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}{\,2\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}\\[5pt]~~~\sin 15^\circ&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
また、\(\triangle {\rm ABD}\) の余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~(\sqrt{3}-1)^2&=&2^2+(\sqrt{2})^2-2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos 15^\circ\\[3pt]~~~3-2\sqrt{3}+1&=&4+2-4\sqrt{2}\cos 15^\circ\\[3pt]~~~4\sqrt{2}\cos 15^\circ&=&2+2\sqrt{3}\\[3pt]~~~\cos 15^\circ&=&\displaystyle \frac{\,2(1+\sqrt{3})\,}{\,4\sqrt{2}\,}\\[5pt]~~~\cos 15^\circ&=&\displaystyle \frac{\,(1+\sqrt{3}){\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}{\,2\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}\\[5pt]~~~\cos 15^\circ&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}+\sqrt{2}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\sin 15^\circ=\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,}{\,4\,}~,~\cos 15^\circ=\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}+\sqrt{2}\,}{\,4\,}\) となる
