データの変換と分散・標準偏差

データ \(x\) の平均値 \(\overline{x}=6\) 、分散 \({s_x}^2=2\) より、

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データ \(x\) の各値に \(10\) を加えたデータ \(y\) の平均値は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overline{y}&=&\overline{x}+10
\\[3pt]~~~&=&16\end{eqnarray}\)

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分散は、

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\(\begin{eqnarray}~~~{s_y}^2&=&{s_x}^2
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

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データ \(x\) の各値に \(2\) を掛けたデータ \(z\) の平均値は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overline{z}&=&2 \cdot \overline{x}
\\[3pt]~~~&=&12\end{eqnarray}\)

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分散は、

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\(\begin{eqnarray}~~~{s_z}^2&=&2^2 \cdot {s_x}^2
\\[3pt]~~~&=&8\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(10\) を加えた変量の平均値 \(16\)、分散 \(2\)
　\(2\) を掛けた変量の平均値 \(12\)、分散 \(8\)
となる

 
 

変量 \(x\) のデータを変量 \(y\) に変換すると、\(x\) から \(100\) を引き、\(10\) で割った変数であるので、

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　　\(\begin{array}{c|c}
~x~ & ~y~
\\\hline
130 & (130-100)\div10=3
\\50 & (50-100)\div10=-5
\\80 & (80-100)\div10=-2
\\110 & (110-100)\div10=1
\\30 & (30-100)\div10=-7
\end{array}\)

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この \(y\) の値の平均値 \(\overline{y}\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overline{y}&=&\displaystyle \frac{\,3+(-5)+(-2)+1+(-7)\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-10\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)

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偏差 \(y-\overline{y}\) と、偏差の \(2\) 乗 \((y-\overline{y})^2\) の値は、

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　　\(\begin{array}{c|c|c}
~y~ & y-\overline{y} & (y-\overline{y})^2
\\\hline
3 & 5 & 25
\\-5 & -3 & 9
\\-2 & 0 & 0
\\1 & 3 & 9
\\-7 & -5 & 25
\end{array}\)

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これより、\(y\) の分散 \({s_y}^2\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~{s_y}^2&=&\displaystyle \frac{\,25+9+0+9+25\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,68\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&13.6\end{eqnarray}\)

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ここで、\(y=(x-100)\div10\) より、

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　\(x=10y+100\)

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これより、変量 \(x\) の平均値 \(\overline{x}\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overline{x}&=&10\overline{y}+100
\\[3pt]~~~&=&10 {\, \small \times \,} (-2)+100
\\[3pt]~~~&=&-20+100
\\[3pt]~~~&=&80\end{eqnarray}\)

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変量 \(x\) の分散 \({s_x}^2\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~{s_x}^2&=&10^2 \cdot {s_y}^2
\\[3pt]~~~&=&100 \cdot 13.6
\\[3pt]~~~&=&1360\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\overline{x}=80\) 、\({s_x}^2=1360\) となる