- 数学Ⅰ｜データの分析「変数の変換と共分散・相関係数」の基本例題解説ページです。
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問題｜変数の変換と共分散・相関係数
データの分析 15☆2つの変量 \((x~,~y)\) の共分散が \(s\) 、相関係数が \(r\) で、変量 \(x\) を \(a\) 倍 \((a\gt 0)\) して \(+b\) した変量を \(z\) とするとき、変量 \((z~,~y)\) の共分散と相関係数はどうなるか？
高校数学Ⅰ｜データの分析
解法のPoint
変数の変換と共分散・相関係数
Point：変数の変換と共分散・相関係数
このとき、変量 \(x\) を \(z=ax+b\) と変換すると、
2つの変量 \((z~,~y)\) について、
共分散 \(s_{zy}=|\, a \,|s\)
相関係数 \(r^{\prime}=r\)
2つの変量 \((x~,~y)\) について、共分散 \(s\) 、相関係数 \(r\) とする。
このとき、変量 \(x\) を \(z=ax+b\) と変換すると、
2つの変量 \((z~,~y)\) について、
共分散 \(s_{zy}=|\, a \,|s\)
相関係数 \(r^{\prime}=r\)
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詳しい解説｜変数の変換と共分散・相関係数
データの分析 15☆2つの変量 \((x~,~y)\) の共分散が \(s\) 、相関係数が \(r\) で、変量 \(x\) を \(a\) 倍 \((a\gt 0)\) して \(+b\) した変量を \(z\) とするとき、変量 \((z~,~y)\) の共分散と相関係数はどうなるか？
高校数学Ⅰ｜データの分析
変量 \(x\) を \(a\) 倍して \(+b\) した変量 \(z\) は、
\(z=ax+b\)
これより、\(x\) の偏差 \(x-\overline{x}\) を \(z\) の偏差に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~z-\overline{z}&=&(ax+b)-(a\overline{x}+b)
\\[3pt]~~~&=&a(x-\overline{x})\end{eqnarray}\)
よって、共分散 \(s_{zy}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~s_{zy}&=&a(x-\overline{x})(y-\overline{y}) \,の平均
\\[3pt]~~~&=&as\end{eqnarray}\)
また、\(x\) の偏差の2乗 \((x-\overline{x})^2\) を、\(z\) の偏差の2乗に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(z-\overline{z})^2&=&\left\{\,(ax+b)-(a\overline{x}+b)\,\right\}^2
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,a(x-\overline{x})\,\right\}^2
\\[3pt]~~~&=&a^2(x-\overline{x})^2\end{eqnarray}\)
よって、\({s_z}^2=a^2{s_x}^2\)
これより、\(z\) と \(y\) の相関係数 \(r^{\prime}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,as\,}{\,\sqrt{\,a^2{s_x}^2\,} \cdot \sqrt{\,{s_y}^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,as\,}{\,as_x \cdot s_y\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,s\,}{\,s_x \cdot s_y\,}
\\[5pt]~~~&=&r\end{eqnarray}\)
したがって、共分散は \(as\) 、相関係数は \(r\) となる
