このページは、「反復試行の確率と仮説検定」の練習問題アーカイブページとなります。
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反復試行の確率と仮説検定 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(1\) 枚のコインを \(6\) 回投げたところ、表が \(5\) 回出た。このコインは表が出やすいと判断してよいか。仮説検定の考え方を用い、基準となる確率を \(5\) ％として考察せよ。
数研出版｜数学Ⅰ[104-901] p.206 発展 練習1
数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903] p.199 発展 練習1
表が出やすいという主張を \({\small [\,1\,]}\) とすると、
表が出やすいといえず、表が出る確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) であるという仮説 \({\small [\,2\,]}\) を立てる
ここで、\(1\) 枚のコインを \(6\) 回投げて、表が \(5\) 回以上出る確率は、
\({\small (1)}~\)表が \(5\) 回出るとき、
\(\begin{eqnarray}~~~{}_6 {\rm C}_5 \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^5 \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^1&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,2^6\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)表が \(6\) 回出るとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^6&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^6\,}\end{eqnarray}\)
よって、\({\small (1)}\)、\({\small (2)}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,6\,}{\,2^6\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^6\,}&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2^6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,64\,}
\\[5pt]~~~&=&0.109375\end{eqnarray}\)
これは、基準となる確率 \(0.05\) より大きいので、仮説 \({\small [\,2\,]}\) は棄却できない
確率が基準より大きいので、これは十分に起こりうる。よって、実際に表が出やすいとはいえない。
したがって、主張は正しいと判断できないので表が出やすいと判断できない
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\({\rm A}\) さんと \({\rm B}\) さんがあるゲームを \(10\) 回行ったところ、\({\rm A}\) さんが \(8\) 回勝った。この結果から、\({\rm A}\) さんが \({\rm B}\) さんよりも強いと判断してよいだろうか。反復試行の確率を利用して考察せよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901] p.197 発展 問1
基準となる確率を \(0.05\) とする。
\({\rm A}\) さんが強いという主張を \({\small [\,1\,]}\) とすると、
\({\rm A}\) さんが強いといえず、\({\rm A}\) さんが勝つ確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) であるという仮説 \({\small [\,2\,]}\) を立てる
ここで、\(10\) 回のゲームで \({\rm A}\) さんが \(8\) 回以上勝つ確率は、
\({\small (1)}~\)\(8\) 回勝つとき、
\(\begin{eqnarray}~~~{}_{10} {\rm C}_8 \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^8 \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2&=&\displaystyle \frac{\,45\,}{\,2^{10}\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(9\) 回勝つとき、
\(\begin{eqnarray}~~~{}_{10} {\rm C}_9 \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^9 \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^1&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2^{10}\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)\(10\) 回勝つとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^{10}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^{10}\,}\end{eqnarray}\)
よって、\({\small (1)}\)、\({\small (2)}\)、\({\small (3)}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,45\,}{\,2^{10}\,}+\displaystyle \frac{\,10\,}{\,2^{10}\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^{10}\,}&=&\displaystyle \frac{\,56\,}{\,2^{10}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,128\,}
\\[5pt]~~~&{\small ~≒~}&0.055\end{eqnarray}\)
これは、基準となる確率 \(0.05\) より大きいので、仮説 \({\small [\,2\,]}\) は棄却できない
確率が基準より大きいので、これは十分に起こりうる。よって、実際に \({\rm A}\) さんが強いとはいえない。
したがって、主張は正しいと判断できないので \({\rm A}\) さんが \({\rm B}\) さんよりも強いと判断できない
