- 数学A｜場合の数と確率「ド・モルガンの法則と要素の個数」の基本例題解説ページです。
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問題｜ド・モルガンの法則と要素の個数
場合の数と確率 03\(100\) 以下の自然数のうち、\(2\) の倍数でも \(3\) の倍数でもない集合の要素の個数は？また、\(2\) の倍数であるが \(3\) の倍数でない集合の要素の個数は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
ド・モルガンの法則と要素の個数
Point：ド・モルガンの法則と要素の個数
■ \(A\) でない集合かつ \(B\) でない集合
ド・モルガンの法則より、
\(\begin{eqnarray}n(\overline{A} \cap \overline{B})&=&n(\overline{A \cup B})\\[3pt]&=&n(U)-n(A \cup B)\end{eqnarray}\)
ド・モルガンの法則より、
\(\begin{eqnarray}n(\overline{A} \cup \overline{B})&=&n(\overline{A \cap B})\\[3pt]&=&n(U)-n(A \cap B)\end{eqnarray}\)
ベン図で表すと、
\(n(A \cap \overline{B})=n(A)-n(A \cap B)\)
全体集合 \(U\) の部分集合である集合 \(A\) と集合 \(B\) において、
■ \(A\) でない集合かつ \(B\) でない集合
ド・モルガンの法則より、
\(\begin{eqnarray}n(\overline{A} \cap \overline{B})&=&n(\overline{A \cup B})\\[3pt]&=&n(U)-n(A \cup B)\end{eqnarray}\)
■ \(A\) でない集合または \(B\) でない集合
ド・モルガンの法則より、
\(\begin{eqnarray}n(\overline{A} \cup \overline{B})&=&n(\overline{A \cap B})\\[3pt]&=&n(U)-n(A \cap B)\end{eqnarray}\)
■ 集合 \(A\) かつ \(B\) でない集合
ベン図で表すと、
\(n(A \cap \overline{B})=n(A)-n(A \cap B)\)
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詳しい解説｜ド・モルガンの法則と要素の個数
場合の数と確率 03
\(100\) 以下の自然数のうち、\(2\) の倍数でも \(3\) の倍数でもない集合の要素の個数は？また、\(2\) の倍数であるが \(3\) の倍数でない集合の要素の個数は？
高校数学A｜場合の数と確率
\(100\) 以下の自然数の全体の集合を \(U\)とすると、
\(n(U)=100~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(100\) 以下の自然数のうち、\(2\) の倍数の集合 \(A\) の要素の個数は、
\(A=\{\,2 \cdot 1~,~2 \cdot 2~,~\cdots~,~2 \cdot 50\,\}\)
これより、\(2 \cdot 1\) から \(2 \cdot 50\) までの \(50\) 個あるので、
\(n(A)=50~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\(3\) の倍数の集合 \(B\) の要素の個数は、
\(B=\{\,3 \cdot 1~,~3 \cdot 2~,~\cdots~,~3 \cdot 33\,\}\)
これより、\(3 \cdot 1\) から \(3 \cdot 33\) までの \(33\) 個あるので、
\(n(B)=33~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
\(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数、つまり \(6\) の倍数の集合 \(A \cap B\)は、
\(A \cap B=\{\,6 \cdot 1~,~6 \cdot 2~,~\cdots~,~6 \cdot 16\,\}\)
これより、\(6 \cdot 1\) から \(6 \cdot 16\) までの \(16\) 個あるので、
\(n(A \cap B)=16~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
\(2\) の倍数または \(3\) の倍数の集合 \(A \cup B\)は、
\({\small [\,2\,]}~,~\)\({\small [\,3\,]}~,~\)\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~n(A \cup B)&=&n(A)+n(B)-n(A \cap B)\\[3pt]~~~&=&50+33-16\\[3pt]~~~&=&67~~~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\(2\) の倍数でも \(3\) の倍数でもない集合 \(\overline{A} \cap \overline{B}\) は、
ド・モルガンの法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~n(\overline{A} \cap \overline{B})&=&n(\overline{A \cup B})\\[3pt]~~~&=&n(U)-n(A \cup B)\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,5\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{n(\overline{A} \cap \overline{B})}&=&100-67\\[3pt]~~~&=&33\end{eqnarray}\)
また、\(2\) の倍数であるが \(3\) の倍数でない集合は、
集合 \(A \cap \overline{B}\) であるので、
ベン図より、
\(\begin{eqnarray}~~~n(A \cap \overline{B})&=&n(A)-n(A \cap B)\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}~,~\)\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{n(A \cap \overline{B})}&=&50-16\\[3pt]~~~&=&34\end{eqnarray}\)
