- 数学A「場合の数と確率」の基本例題一覧ページです。
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集合の要素の個数
01｜要素の個数の数え方
場合の数と確率 01\(100\) 以下の自然数のうちの \(3\) の倍数の集合 \(A\) の要素の個数 \(n(A)\) 、\(24\) の正の約数の集合 \(B\) の要素の個数 \(n(B)\) の求め方は？
02｜共通部分・和集合・補集合の要素の個数
場合の数と確率 02\(100\) 以下の自然数のうち、\(2\) でも \(3\) でも割り切れる数の個数と \(2\) と \(3\) の少なくとも一方で割り切れる数の個数の求め方は？また、\(3\) の倍数でない集合の要素の個数の求め方は？
03｜ド・モルガンの法則と要素の個数
場合の数と確率 03\(100\) 以下の自然数のうち、\(2\) の倍数でも \(3\) の倍数でもない集合の要素の個数は？また、\(2\) の倍数であるが \(3\) の倍数でない集合の要素の個数は？
04☆｜3つの集合の和集合の要素の個数
場合の数と確率 04☆\(100\) 以下の自然数のうち、\(2\) 、\(3\) 、\(5\) の少なくとも \(1\) つで割り切れる数の個数の求め方は？
05☆｜範囲が指定された倍数の要素の個数
場合の数と確率 05☆\(100\) から \(200\) までの自然数のうち、\(2\) の倍数の集合 \(A\) と \(3\) の倍数の集合 \(B\) について、\(n(A \cap B)\) と \(n(A \cup B)\) の求め方は？
和の法則と積の法則
06｜樹形図の表し方
場合の数と確率 06\(1~,~2~,~3~,~3\) の \(4\) つの数字から \(3\) つを選んでできる \(3\) 桁の整数の個数を樹形図を使って求める方法は？
07｜和の法則の使い方
場合の数と確率 07大小 \(2\) 個のさいころを投げて目の和が \(6\) の倍数となるのは何通りあるか？また、目の積が \(20\) 以上となるのは何通りあるか？
08｜積の法則の使い方
場合の数と確率 08\(5\) 種類のケーキと \(3\) 種類のジュースのそれぞれから \(1\) 種類選ぶセットの作り方は何通りあるか？また、大中小の \(3\) 個のさいころを投げるとき、すべての目が \(5\) 以上である場合は何通りか？さらに、\((a+b+c)(x+y)\) を展開したときの項の数の求め方は？
09｜正の約数の個数とその総和
場合の数と確率 09\(72\) の正の約数の個数とその総和の求め方は？
選んだものを並べる順列
10｜順列と総数Pの計算
場合の数と確率 10\(_{5}{\rm P}_{3}~,~\)\(_{6}{\rm P}_{4}~,~\)\(_{5}{\rm P}_{5}\) の計算方法は？また、\(7\) 人から \(3\) 人を選んで一列に並べる場合の数の求め方は？さらに、生徒 \(8\) 人からリレーの第 \(1\) 走者から第 \(4\) 走者までを決める場合の数の求め方は？
11｜順列と階乗n!の計算
場合の数と確率 11\(4!~,~\)\(5!~,~\)\(6!~,~\)\(0!\) の計算方法は？また、\(7\) 人を全員一列に並べる場合の数の求め方は？
12｜隣り合う・両端にくる・交互に並ぶ順列
場合の数と確率 12大人 \(3\) 人、子ども \(2\) 人を一列に並べるとき、子ども \(2\) 人が隣り合うor両端にくる並び方は何通りか？また、大人と子どもが交互に並ぶ並び方は何通りか？
13☆｜同数が交互に並ぶ・隣り合わない順列
場合の数と確率 13☆大人 \(3\) 人、子ども \(3\) 人を一列に並べるとき、大人と子どもが交互に並ぶ並び方は何通りか？また、大人 \(4\) 人、子ども \(3\) 人を一列に並べるとき、どの子どもも隣り合わない並び方は何通りか？
14｜数字を並べて整数をつくる順列
場合の数と確率 14\(6\) つの数字 \(0~,~1~,~2~,~3~,~4~,~5\) から異なる \(3\) 個を使って \(3\) 桁の整数 or 偶数 or 奇数 or \(5\) の倍数は何通りあるか？また、両端が奇数である \(4\) 桁の整数は何通りあるか？
15☆｜n以上の整数の順列や小さい順に並べた順番
場合の数と確率 15☆\(6\) つの数字 \(0~,~1~,~2~,~3~,~4~,~5\) から異なる \(3\) 個を使って \(3\) 桁の整数をつくるとき、\(240\) 以上の整数は何通りできるか？また、できた \(3\) 桁の整数を小さい順に並べたとき、\(30\) 番目の整数の求め方は？
16☆｜自分のものを受け取らない順列(完全順列)
場合の数と確率 16☆\({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) の \(4\) 人がプレゼント交換をするとき、\(4\) 人とも他の人のプレゼントを受け取る場合の数の求め方は？
順列の応用
17｜円形に並べる順列(円順列・じゅず順列)
場合の数と確率 17大人 \(3\) 人、子ども \(2\) 人が円形のテーブルに座るとき、座り方は何通りあるか？また、子ども \(2\) 人が隣り合う座り方は何通りあるか？さらに、\(6\) 色のガラス玉を円形に並べる並べ方は？また、ブレスレットを作るときの作り方は？
18☆｜向い合う・交互に並ぶ円順列
場合の数と確率 18☆大人 \(4\) 人、子ども \(2\) 人が円形のテーブルに座るとき、子ども \(2\) 人が向い合う座り方は何通りあるか？また、大人 \(3\) 人、子ども \(3\) 人が円形のテーブルに座るとき、大人と子どもが交互になる座り方は何通りか？
19☆｜立方体の6面の塗り分け
場合の数と確率 19☆立方体の \(6\) つの面を異なる \(6\) 色で塗り分ける方法は何通りか？また、隣り合う面を同じ色で塗らないとき、\(5\) 色で塗り分ける方法は何通りか？
20｜同じものを使える重複順列
場合の数と確率 20\(3\) つの文字 \({\rm a}~,~{\rm b}~,~{\rm c}\) を重複を許して \(3\) つ並べる場合の数は？また、\(4\) つ並べる場合の数は？さらに、\(4\) つの数字 \(0~,~1~,~2~,~3\) を重複を許してできる \(3\) 桁の整数の個数の求め方は？
21｜2つのグループに分ける場合の数
場合の数と確率 21\(4\) 人を \(2\) つの部屋 \({\rm A}~,~{\rm B}\) に入れる方法(空室あり)は何通りか？また、\({\rm A}~,~{\rm B}\) の \(2\) つのグループに分ける方法は？さらに、集合 \(\{\,a~,~b~,~c~,~d~,~e\,\}\) の部分集合の個数の求め方は？
22☆｜重複順列と整数の個数・順番
場合の数と確率 22☆\(5\) つの数字 \(0~,~1~,~2~,~3~,~4\) を重複を許して使ってできる、\(0\) 以上 \(3\) 桁以下の整数の個数は？また、\(3\) 桁の整数を小さい順に並べたとき、\(200\) 以上となるのは何番目からか？さらに、\(42\) 番目の数は？
選ぶ組合せ
23｜組合せとCの公式
場合の数と確率 23\({}_4{\rm C}_2~,~\)\({}_5{\rm C}_3~,~\)\({}_6{\rm C}_0~,~\)\({}_7{\rm C}_7~,~\)\({}_8{\rm C}_6\) の計算方法は？また、生徒 \(8\) 人から \(4\) 人の代表の選び方は何通りか？
24｜等式ₙCᵣ=ₙ₋₁Cᵣ₋₁+ₙ₋₁Cᵣの証明
場合の数と確率 24等式 \({}_n{\rm C}_r={}_{n-1}{\rm C}_{r-1}+{}_{n-1}{\rm C}_r\)（ただし、\(1{\small ~≦~}r{\small ~≦~}n-1~,~n{\small ~≧~}2\)）の証明方法は？また、組合せ \({}_n{\rm C}_2~,~\)\({}_n{\rm C}_{n-3}\) を \(n\) と \(r\) を使った文字式で表す方法は？
25｜図形の性質と組合せ
場合の数と確率 25正六角形 \({\rm ABCDEF}\) の \(6\) 個の頂点から \(3\) 個を選んでできる三角形の個数の求め方は？また、\(2\) 個を選んでできる対角線の本数の求め方は？さらに、\(3\) 本の平行線とそれらに交わる別の \(5\) 本の平行線によってできる平行四辺形の個数の求め方は？
26｜少なくとも1人を選ぶ組合せ
場合の数と確率 26大人 \(6\) 人、子ども \(4\) 人から \(4\) 人を選ぶとき、大人 \(2\) 人と子ども \(2\) 人の選び方は何通りか？また、子どもが少なくとも \(1\) 人選ばれる選び方は何通りか？
27｜区別できるorできないグループ分け
場合の数と確率 27\(9\) 人を部屋 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) に \(3\) 人ずつ入れる方法は何通りか？また、\(3\) 人ずつの \(3\) 組に分ける方法は何通りか？さらに、\(4\) 人、\(3\) 人、\(2\) 人に分ける分け方は何通りか？また、\(5\) 人、\(2\) 人、\(2\) 人に分ける分け方は何通りか？
28｜同じものを含む順列
場合の数と確率 28\(6\) つの文字 \(a~,~a~,~a~,~b~,~b~,~c\) のすべてを一列に並べる並べ方は何通りか？また、\(7\) つの文字 \(a~,~a~,~a~,~b~,~b~,~c~,~d\) のすべてを一列に並べる並べ方は何通りか？
29｜最短経路と同じものを含む順列
場合の数と確率 29下の図のような格子状の道路があり、\({\rm A}\) から \({\rm B}\) への最短経路は何通りか？また、\({\rm C}\) を通る最短経路と \({\rm C}\) を通らない最短経路はそれぞれ何通りか？さらに、\({\rm C}\) から \({\rm D}\) の道を通る最短経路は何通りか？
30☆｜隣り合う・左側にある・順番に現れる順列
場合の数と確率 30☆\(6\) つの文字 \(a~,~a~,~a~,~b~,~b~,~c\) のすべてを一列に並べるとき、\(2\) つの \(b\) が隣り合わない並べ方は何通りか？また、\(5\) つの文字 \(a~,~b~,~c~,~d~,~e\) を一列に並べるとき、\(a\) が \(b\) より左側にある並び方は何通りか？さらに、\(a~,~b~,~c\) がこの順に現れる並べ方は何通りか？
31☆｜重複組合せと整数の組
場合の数と確率 31☆\({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) の \(3\) 種類のケーキから重複を許して \(5\) 個取る組合せは何通りか？また、\(x+y+z=7\) を満たす \(0\) 以上の整数 \(x~,~y~,~z\) の組合せは何通りか？さらに、自然数 \(x~,~y~,~z\) の組合せは何通りか？
事象と確率
32｜硬貨を投げる確率
場合の数と確率 32\(2\) 枚の硬貨を投げたときの根元事象の集合での表し方は？また、\(1\) 枚が表でもう \(1\) 枚が裏である確率の求め方は？
33｜さいころを投げる確率
場合の数と確率 33\(1\) 個のサイコロを投げたときの根元事象の集合の表し方は？また、\(2\) 個のさいころを同時に投げるとき、目の和が \(6\) の倍数となる確率の求め方は？
34｜くじ引き・組合せと確率
場合の数と確率 34赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個が入った袋から玉を同時に \(3\) 個取り出すとき、赤玉 \(2\) 個と白玉 \(1\) 個が出る確率の求め方は？また、すべて赤玉である確率の求め方は？
35｜順列を用いた確率
場合の数と確率 35大人 \(3\) 人、子ども \(2\) 人を一列に並べるとき、子ども \(2\) 人が隣り合う or 両端にくる確率の求め方は？
36☆｜確率と当たりくじの本数
場合の数と確率 36☆\(10\) 本のくじの中に当たりが何本が入っていて、\(2\) 本のくじを同時に引き \(2\) 本とも当たる確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,15\,}\) であるとき、当たりのくじの本数の求め方は？
積事象・和事象・加法定理・余事象
37｜積事象と和事象の確率
場合の数と確率 37\(1\) 個のさいころを投げて、偶数の目が出る事象を \(A\) 、\(4\) 以上の目が出る事象を \(B\) とするとき、積事象 \(A \cap B\) or和事象 \(A \cup B\) の確率の求め方は？
38｜互いに排反な事象
場合の数と確率 38\(1\) 個のさいころを投げて、偶数の目が出る事象を \(A\) 、\(4\) 以上の目が出る事象を \(B\) 、\(1\) の目が出る事象を \(C\) 、\(2\) 以下の目が出る事象を \(D\) とするとき、互いに排反である組の調べ方は？
39｜排反事象と確率の加法定理
場合の数と確率 39赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個が入った袋から玉を同時に \(2\) 個取り出すとき、同じ色の玉を取り出す確率の求め方は？また、赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個、青玉 \(2\) 個が入った袋から玉を同時に \(2\) 個取り出すとき、同じ色の玉を取り出す確率の求め方は？
40｜排反事象でない和事象の確率
場合の数と確率 40\(1\) 〜 \(100\) までの番号が書かれたカードから \(1\) 枚引くとき、その番号が \(2\) の倍数または \(3\) の倍数である確率の求め方は？
41｜余事象の確率
場合の数と確率 41\(10\) 本のくじの中に当たりが \(3\) 本あり、\(2\) 本のくじを同時に引くとき、少なくとも \(1\) 本が当たる確率の求め方は？
42☆｜じゃんけんの確率
場合の数と確率 42☆\({\rm A}\) 、\({\rm B}\) 、\({\rm C}\) の \(3\) 人が \(1\) 回じゃんけんをするとき、\({\rm A}\) だけが勝つ確率の求め方は？また、あいこになる確率の求め方は？
独立試行の確率
43｜独立であるかの調べ方
場合の数と確率 43\(10\) 本のくじの中に当たりが \(3\) 本あり、\(1\) 本引く試行を \(2\) 回行うとき、引いたくじを戻すor戻さないのそれぞれの場合で \(1\) 回目の試行 \(S\) と \(2\) 回目の試行 \(T\) は互いに独立であるかの調べ方は？
44｜独立試行の確率
場合の数と確率 44\(1\) 個のさいころを \(2\) 回続けて投げるとき、\(1\) 回目は \(3\) の倍数の目が出て、\(2\) 回目は \(2\) の倍数の目が出る確率の求め方は？また、\(3\) 回続けて投げるとき、少なくとも \(1\) 度は \(3\) の倍数が出る確率の求め方は？
45｜独立試行の確率と和事象
場合の数と確率 45袋Aに赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個が袋Bに赤玉 \(4\) 個、白玉 \(3\) 個が入っていて、それぞれの袋から \(1\) 個取り出すとき、同じ色の玉である確率の求め方は？
反復試行の確率
46｜反復試行の確率
場合の数と確率 46\(1\) 個のさいころを \(5\) 回続けて投げるとき、\(2\) 以下の目がちょうど \(3\) 回出る確率の求め方は？
47｜反復試行の確率と和事象
場合の数と確率 47赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個が入った袋から \(1\) 個取り出し、色を確認して元に戻す試行を \(4\) 回繰り返すとき、白玉が \(3\) 回以上出る確率の求め方は？また、少なくとも \(2\) 回は白玉が出る確率の求め方は？
48｜先にn勝で優勝する反復試行の確率
場合の数と確率 48\({\rm A}\) と \({\rm B}\) が試合をして \({\rm A}\) が勝つ確率が \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) であり、先に \(3\) 勝した方が優勝するとき、\(4\) 試合目で \({\rm A}\) が優勝する確率の求め方は？また、\({\rm A}\) が優勝する確率の求め方は？
49｜点の移動と反復試行の確率
場合の数と確率 49数直線上を動点 \({\rm P}\) が原点にあり、\(1\) 個のさいころを投げて \(2\) 以下の目が出ると \(+2\) 進み、\(3\) 以上の目が出ると \(-1\) 進むとき、この試行を \(6\) 回繰り返した後の点 \({\rm P}\) が原点に戻る確率の求め方は？
50☆｜最大値・最小値をとる確率
場合の数と確率 50☆\(3\) 個のさいころを同時に投げるとき、出る目の最大値が \(5\) 以下の確率の求め方は？また、最大値が \(5\) となる確率の求め方は？
条件付き確率
51｜条件付き確率
場合の数と確率 51\(100\) 人の中で、\(A\) のみに含まれる人が \(24\) 人、\(B\) のみに含まれる人が \(28\) 人、\(A\) にも \(B\) にも含まれる人が \(16\) 人であった、\(A\) に含まれる人の中から \(1\) 人を選ぶとき、\(B\) にも含まれている確率の求め方は？また、あるグループ全体の \(30\) %が \(A\) に含まれていて、\(A\) にも \(B\) にも含まれるのは全体の \(10\) %であった、\(A\) の中から \(1\) 人を選ぶとき、\(B\) にも含まれている確率の求め方は？
52｜確率の乗法定理
場合の数と確率 52\(10\) 本のくじの中に当たりが \(3\) 本あり \(A\) と \(B\) が順番に引くとき、\(2\) 人とも当たる確率の求め方は？(くじは元に戻さない)
53｜確率の乗法定理と和事象
場合の数と確率 53\(10\) 本のくじの中に当たりが \(3\) 本あり \(A\) と \(B\) が順番に引くとき、\(B\) が当たる確率の求め方は？(くじは元に戻さない)また、袋 \(A\) に赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個が袋 \(B\) に赤玉 \(4\) 個、白玉 \(3\) 個が入っていて、袋 \(A\) から \(1\) 個を袋 \(B\) に入れて、袋 \(B\) から \(1\) 個を袋 \(A\) に戻すとき、袋 \(A\) の赤玉の個数が変わらない確率の求め方は？
54☆｜乗法定理とn回連続する確率
場合の数と確率 54☆赤玉 \(4\) 個、白玉 \(3\) 個が入った袋から \(1\) 個ずつ \(4\) 回取り出すとき、同じ色の玉が連続で \(3\) 回以上取り出される確率の求め方は？(玉は元に戻さない)
55｜原因の確率
場合の数と確率 55ある製品の \(60\) %は \(A\) (不良品が \(2\) %)で作られて、残り \(40\) %は \(B\) (不良品が \(3\) %)で作られる、この製品を \(1\) 個取ったとき、不良品である確率の求め方は？また、不良品であったとき、\(A\) の製品である確率の求め方は？
確率と期待値
56｜確率と変量の期待値
場合の数と確率 56\(1\) 個のさいころを \(1\) 回投げるとき、出た目の期待値の求め方は？また、\(1\) の目が出たら \(100\) 点、\(2\) 〜 \(4\) の目が出たら \(10\) 点、\(5\) または \(6\) の目が出たら \(0\) 点のとき、得点の期待値の求め方は？
57｜期待値と得であるかの判断
場合の数と確率 57赤玉 \(3\) 個、白玉 \(2\) 個が入った袋から玉を同時に \(2\) 個取り出すとき、白玉の数だけ \(100\) 円玉をもらえるゲームがあり、参加料が \(100\) 円のとき、このゲームは得であるかの調べ方は？
