- 数学A｜場合の数と確率「確率の乗法定理」の基本例題解説ページです。
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問題｜確率の乗法定理
場合の数と確率 52\(10\) 本のくじの中に当たりが \(3\) 本あり \(A\) と \(B\) が順番に引くとき、\(2\) 人とも当たる確率の求め方は？(くじは元に戻さない)
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
確率の乗法定理
Point：確率の乗法定理
条件付き確率の式
\(P_A(B)=\displaystyle \frac{\,P(A \cap B)\,}{\,P(A)\,}\)
これより、
\(P(A \cap B)=P(A) {\, \small \times \,} P_A(B)\)
\(2\) つの事象 \(A~,~B\) がともに起こる確率 \(P(A \cap B)\) は、
条件付き確率の式
\(P_A(B)=\displaystyle \frac{\,P(A \cap B)\,}{\,P(A)\,}\)
これより、
\(P(A \cap B)=P(A) {\, \small \times \,} P_A(B)\)
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詳しい解説｜確率の乗法定理
場合の数と確率 52
\(10\) 本のくじの中に当たりが \(3\) 本あり \(A\) と \(B\) が順番に引くとき、\(2\) 人とも当たる確率の求め方は？(くじは元に戻さない)
高校数学A｜場合の数と確率
\(A\) が当たる事象を \(A\)、\(B\) が当たる事象を \(B\) とすると、
\(2\) 人とも当たる確率は \(P(A \cap B)\) となる
ここで、\(A\) が当たる確率は、
\(\begin{array}{ccc}
当たり & | & はずれ
\\[-3pt]
◎◎◎ & | & ○○○○○○○
\\[-3pt]
\downarrow& &
\\[-3pt]
◎& &
\end{array}\)
\(P(A)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)
次に、\(A\) が当たり、\(B\) も当たるのは、残り \(9\) 本の中の \(2\) 本の当たりを引くので、
\(\begin{array}{ccc}
当たり & | & はずれ
\\[-3pt]
◎◎ & | & ○○○○○○○
\\[-3pt]
\downarrow& &
\\[-3pt]
◎& &
\end{array}\)
\(P_A(B)=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\)
よって、確率の乗法定理より、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~P(A \cap B)&=&P(A) {\, \small \times \,} P_A(B)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{3}^1 {\, \small \times \,} \cancel{2}^1\,}{\,\cancel{10}^5 {\, \small \times \,} \cancel{9}^3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5 {\, \small \times \,} 3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,15\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,15\,}\) となる
