- 数学A｜場合の数と確率「n以上の整数の順列や小さい順に並べた順番」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜n以上の整数の順列や小さい順に並べた順番
場合の数と確率 15☆\(6\) つの数字 \(0~,~1~,~2~,~3~,~4~,~5\) から異なる \(3\) 個を使って \(3\) 桁の整数をつくるとき、\(240\) 以上の整数は何通りできるか？また、できた \(3\) 桁の整数を小さい順に並べたとき、\(30\) 番目の整数の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
n以上の整数の順列
Point：n以上の整数の順列
\(240\) 以上の整数は、
① 百の位が \(2\) より大きい \(3\) or \(4\) or \(5\) のときの場合の数を求める。
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]3\,\text{or}\,4\,\text{or}\,5 & 5通り & 4通り
\end{array}\)
\(3 {\small \times} (5 {\small \times} 4)=60\) 通り
② 百の位が \(2\) で十の位が \(4\) 以上の \(4\) or \(5\) のとき、整数の場合の数を求める。
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{0}2\phantom{0}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 4\,\text{or}\,5 & 4通り
\end{array}\)
\(2 {\small \times} 4=8\) 通り
③ 和の法則より、場合の数を求める。
\(60+8=68\) 通り
\(6\) つの数字 \(0~,~1~,~2~,~3~,~4~,~5\) から異なる \(3\) つの数字を使い、\(3\) 桁の整数をつくるとき、
\(240\) 以上の整数は、
① 百の位が \(2\) より大きい \(3\) or \(4\) or \(5\) のときの場合の数を求める。
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]3\,\text{or}\,4\,\text{or}\,5 & 5通り & 4通り
\end{array}\)
\(3 {\small \times} (5 {\small \times} 4)=60\) 通り
② 百の位が \(2\) で十の位が \(4\) 以上の \(4\) or \(5\) のとき、整数の場合の数を求める。
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{0}2\phantom{0}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 4\,\text{or}\,5 & 4通り
\end{array}\)
\(2 {\small \times} 4=8\) 通り
③ 和の法則より、場合の数を求める。
\(60+8=68\) 通り
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
整数の順列を小さい順に並べた順番
Point：整数の順列を小さい順に並べた順番
小さい順に整数を並べたとき、\(30\) 番目の整数は、
① 百の位が \(1\) のとき、残りの場合の数を求める。
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{0}1\phantom{0}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 5通り & 4通り
\end{array}\)
\(5 {\small \times} 4=20\) 通り
② 百の位が \(2\) で十の位が \(0\) or \(1\) のとき、場合の数を求める。
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{0}2\phantom{0}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 0\,\text{or}\,1 & 4通り
\end{array}\)
\(2 {\small \times} 4=8\) 通り
③ ここまでの場合の数より、目的の \(30\) 番目までの残りを求める。
\(28\) 番目 … \(215\)
\(29\) 番目 … \(230\)
\(30\) 番目 … \(231\)
\(6\) つの数字 \(0~,~1~,~2~,~3~,~4~,~5\) から異なる \(3\) つの数字を使い、\(3\) 桁の整数をつくるとき、
小さい順に整数を並べたとき、\(30\) 番目の整数は、
① 百の位が \(1\) のとき、残りの場合の数を求める。
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{0}1\phantom{0}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 5通り & 4通り
\end{array}\)
\(5 {\small \times} 4=20\) 通り
② 百の位が \(2\) で十の位が \(0\) or \(1\) のとき、場合の数を求める。
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{0}2\phantom{0}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 0\,\text{or}\,1 & 4通り
\end{array}\)
\(2 {\small \times} 4=8\) 通り
③ ここまでの場合の数より、目的の \(30\) 番目までの残りを求める。
\(28\) 番目 … \(215\)
\(29\) 番目 … \(230\)
\(30\) 番目 … \(231\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜n以上の整数の順列や小さい順に並べた順番
場合の数と確率 15☆
\(6\) つの数字 \(0~,~1~,~2~,~3~,~4~,~5\) から異なる \(3\) 個を使って \(3\) 桁の整数をつくるとき、\(240\) 以上の整数は何通りできるか？また、できた \(3\) 桁の整数を小さい順に並べたとき、\(30\) 番目の整数の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
\(3\) 桁の整数で百の位が \(3\) or \(4\) or \(5\) のとき、十の位と一の位は残りの \(5\) つの数字から \(2\) つ選んで並べるので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]3\,\text{or}\,4\,\text{or}\,5 & 5通り & 4通り
\end{array}\)
よって、
\(3 {\small \times} 5 {\small \times} 4=60\) 通り \(\cdots {\small [\,1\,]}\)
次に、百の位が \(2\) で、十の位が \(4\) or \(5\) のとき、一の位は残りの \(4\) つの数字から選ぶので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{0}2\phantom{0}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 4\,\text{or}\,5 & 4通り
\end{array}\)
よって、
\(2 {\small \times} 4=8\) 通り \(\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) は同時に起こらないので、和の法則より、
\(60+8=68\) 通り
したがって、\(68\) 通り
百の位が \(1\) のとき、十の位と一の位は残りの \(5\) つの数字から \(2\) つ選んで並べるので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{0}1\phantom{0}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 5通り & 4通り
\end{array}\)
\(5 {\small \times} 4=20\) 通り
百の位が \(2\) で、十の位が \(0\) or \(1\) のとき、一の位は残りの \(4\) つの数字から選ぶので、
\(\begin{array}{ccc}
百 & 十 & 一
\\[-3pt]\boxed{\phantom{0}2\phantom{0}} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]& 0\,\text{or}\,1 & 4通り
\end{array}\)
よって、
\(2 {\small \times} 4=8\) 通り
これより、「\(215\)」が \(28\) 番目となり、
\(29\) 番目は「\(230\)」
\(30\) 番目は「\(231\)」
したがって、\(231\) となる
