- 数学A｜場合の数と確率「隣り合う・左側にある・順番に現れる順列」の基本例題解説ページです。
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問題｜隣り合う・左側にある・順番に現れる順列
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
隣り合う・左側にある・順番に現れる順列
隣り合う同じものを含む順列は、
① 隣り合うものを \(1\) つのグループとして、残りのものとの同じものを含む順列を求める。
\(a~,~a~,~a~,~\boxed{b~,~b}~,~c\) の \(5\) つの同じものを含む順列より、
\(\displaystyle \frac{\,5!\,}{\,3!\cdot 1!\cdot 1!\,}=20\) 通り
② 隣り合うものが別のものであればそのグループの中での順列を考えて、積の法則より順列の総数を求める。
\(\boxed{b~,~b}\) のグループの中の順列は \(1\) 通り
よって、\(20{\, \small \times \,}1=20\) 通り
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\(a\) が \(b\) より左側にある順列は、
① 現れる順番が決まっている文字を同じ文字と考える。
\(\begin{array}{ccccc}
a & b & c & d & e
\\[-1pt]\downarrow & \downarrow & & &
\\[-1pt]\boxed{x} & \boxed{x} & & &
\end{array}\)
② 同じものを含む順列より、場合の数を求める。
\(a\) と \(b\) を同じ文字 \(x\) として考えた順列は、\(2\) つの文字 \(x\) に左側から順に \(a~,~b\) と入る順列の総数に等しい。
\(\begin{array}{ccccc}
c & \boxed{x} & d & e & \boxed{x}
\\[-1pt] & \uparrow & & & \uparrow
\\[-1pt] & a & & & b & \,→\, c\,a\,d\,e\,b
\end{array}\)
\(x~,~x~,~c~,~d~,~e\) の同じものを含む順列より、
\(\displaystyle \frac{\,5!\,}{\,2!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\,}\)
※ \(a~,~b~,~c\) がこの順に現れる場合も同様に考える。
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詳しい解説｜隣り合う・左側にある・順番に現れる順列
\(6\) つの文字 \(a~,~a~,~a~,~b~,~b~,~c\) のすべてを一列に並べるとき、\(2\) つの \(b\) が隣り合わない並べ方は何通りか？また、\(5\) つの文字 \(a~,~b~,~c~,~d~,~e\) を一列に並べるとき、\(a\) が \(b\) より左側にある並び方は何通りか？さらに、\(a~,~b~,~c\) がこの順に現れる並べ方は何通りか？
高校数学A｜場合の数と確率
\(a\) が \(3\) 個、\(b\) が \(2\) 個、\(c\) が \(1\) 個の合計 \(6\) 個の同じものを含む順列より、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~\displaystyle \frac{\,6!\,}{\,3!\cdot 2!\cdot 1!\,}&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5 \cdot \cancel{4}^2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1}\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1 \cdot \cancel{2} \cdot 1 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&6 \cdot 5 \cdot 2\\[3pt]~~~&=&60\end{eqnarray}\)
ここで、\(2\) 個の \(b\) を \(1\) つのグループとして、
\(a\) が \(3\) 個、\(c\) が \(1\) 個、このグループ \(1\) つの合計 \(5\) 個の同じものを含む順列より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,5!\,}{\,3!\cdot 1!\cdot 1!\,}&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 4 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1}\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1} \cdot 1 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&5 \cdot 4\\[3pt]~~~&=&20\end{eqnarray}\)
よって、\(2\) つの \(b\) が隣り合わない順列は、
\(60-20=40\) 通り
したがって、\(40\) 通りとなる
\(a\) と \(b\) を同じ文字 \(x\) として考えた順列は、\(2\) つの文字 \(x\) に左側から順に \(a~,~b\) と入る順列の総数に等しい
\(\begin{array}{ccccc}
c & \boxed{x} & d & e & \boxed{x}
\\[-1pt] & \uparrow & & & \uparrow
\\[-1pt] & a & & & b & \,→\, c\,a\,d\,e\,b
\end{array}\)
\(a\) と \(b\) を同じ文字 \(x\) として、\(x\) が \(2\) 個、\(c~,~d~,~e\) がそれぞれ \(1\) 個の合計 \(5\) 個の同じものを含む順列より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,5!\,}{\,2!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\,}&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1}\,}{\,\cancel{2} \cdot \cancel{1} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&5 \cdot 4 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&60\end{eqnarray}\)
したがって、\(60\) 通りとなる
\(a~,~b~,~c\) を同じ文字 \(x\) として考えた順列は、\(3\) つの文字 \(x\) に左側から順に \(a~,~b~,~c\) と入る順列の総数に等しい
\(\begin{array}{ccccc}
\boxed{x} & \boxed{x} & d & e & \boxed{x}
\\[-1pt]\uparrow & \uparrow & & & \uparrow
\\[-1pt]a & b & & & c & \,→\, a\,b\,d\,e\,c
\end{array}\)
\(a~,~b~,~c\) を同じ文字 \(x\) として、\(x\) が \(3\) 個、\(d\) が \(1\) 個、\(e\) が \(1\) 個の合計 \(5\) 個の同じものを含む順列より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,5!\,}{\,3!\cdot 1!\cdot 1!\,}&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 4 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1}\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1} \cdot 1 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&5 \cdot 4\\[3pt]~~~&=&20\end{eqnarray}\)
したがって、\(20\) 通りとなる
