隣り合う・左側にある・順番に現れる順列

数研出版｜高等学校数学A[713] p.71 章末問題A 3
数研出版｜新編数学A[711] p.65 章末問題B 10

\({\small (1)}~\)\(0\) 〜 \(9\) の \(10\) 個の数字から \(2\) 種類の数字を選ぶ組合せは、

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\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~{}_{10}{\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,10 \cdot 9\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{10}^5 \cdot 9\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&5\cdot9\\[5pt]~~~&=&45\end{eqnarray}\)

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ここで、選んだ \(2\) 種類の数字をそれぞれ \(2\) 個ずつ、合計 \(4\) 個を一列に並べる同じものを含む順列は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,4!\,}{\,2!\cdot 2!\,}&=&\displaystyle \frac{\,4 \cdot 3 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1}\,}{\,2 \cdot 1 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4 \cdot 3\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)

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\(2\) 種類の数字の選び方と並べ方は連続して起こるので、積の法則より、

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　\(45{\, \small \times \,}6=270\)

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したがって、\(270\) 個となる

 
 

\({\small (2)}~\)\(0\) 〜 \(9\) の \(10\) 個の数字から異なる \(4\) 個を選ぶと、小さい順の並び方はただ \(1\) 通りに決まるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~{}_{10}{\rm C}_4&=&\displaystyle \frac{\,10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7\,}{\,4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10 \cdot \cancel{9}^3 \cdot \cancel{8} \cdot 7\,}{\,\cancel{4} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&10 \cdot 3 \cdot 7\\[3pt]~~~&=&210\end{eqnarray}\)

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したがって、\(210\) 個となる

東京書籍｜Advanced数学A[701] p.29 問題 5
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.29 問題 5
東京書籍｜Standard数学A[702] p.43 Training 9

\({\rm c}~,~{\rm o}~,~{\rm f}~,~{\rm f}~,~{\rm e}~,~{\rm e}\) の \(6\) 文字で、\({\rm f}\) が \(2\) 個、\({\rm e}\) が \(2\) 個、\({\rm c}\) が \(1\) 個、\({\rm o}\) が \(1\) 個の合計 \(6\) 個の同じものを含む順列より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,6!\,}{\,2!\cdot 2!\cdot 1!\cdot 1!\,}&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5 \cdot \cancel{4}^2 \cdot 3 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1}\,}{\,\cancel{2} \cdot 1 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1} \cdot 1 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&6 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&180\end{eqnarray}\)

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ここで、\(2\) 個の \({\rm f}\) を \(1\) つのグループとして、

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\({\rm c}\) が \(1\) 個、\({\rm o}\) が \(1\) 個、\({\rm e}\) が \(2\) 個、このグループ \(1\) つの合計 \(5\) 個の同じものを含む順列より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,5!\,}{\,2!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\,}&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1}\,}{\,\cancel{2} \cdot \cancel{1} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&5 \cdot 4 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&60\end{eqnarray}\)

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よって、\(2\) つの \({\rm f}\) が隣り合わない順列は、

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　\(180-60=120\)

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したがって、\(120\) 通りとなる

東京書籍｜Advanced数学A[701] p.63 練習問題B 9
東京書籍｜Advanced数学A[002-901] p.63 練習問題B 9

\({\small (1)}~\)\(a~,~b~,~c\) 以外の \(d~,~e~,~f~,~g\) の \(4\) 文字を \(1\) 列に並べると、

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　\(4!=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=24\) 通り

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この \(4\) 文字の両端と間の \(5\) か所から \(3\) か所を選んで \(a~,~b~,~c\) を入れるので、

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　\(\begin{array}{ccccccccc}
\boxed{//} & d & \boxed{//} & e & \boxed{//} & f & \boxed{//} & g & \boxed{//}
\end{array}\)

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\(5\) か所から \(3\) か所を選ぶ順列より、

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　\({}_5{\rm P}_3=5 \cdot 4 \cdot 3=60\) 通り

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\(4\) 文字の並べ方と \(a~,~b~,~c\) の入れ方は連続して起こるので、積の法則より、

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　\(24{\, \small \times \,}60=1440\)

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したがって、\(1440\) 通りとなる

 
 

\({\small (2)}~\)\(a~,~b~,~c\) を同じ文字 \(x\) として考えた順列は、\(3\) つの文字 \(x\) に左側から順に \(a~,~b~,~c\) と入る順列の総数に等しいので、

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\(x~,~x~,~x~,~d~,~e~,~f~,~g\) の \(7\) 個の同じものを含む順列より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,7!\,}{\,3!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\,}&=&\displaystyle \frac{\,7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1}\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4\\[3pt]~~~&=&840\end{eqnarray}\)

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したがって、\(840\) 通りとなる

東京書籍｜Standard数学A[702] p.75 Level Up 7

\({\small (1)}~\)\(a~,~b~,~c\) を同じ文字 \(x\) として考えた順列は、\(3\) つの文字 \(x\) に左側から順に \(a~,~b~,~c\) と入る順列の総数に等しいので、

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\(x~,~x~,~x~,~d~,~e~,~f\) の \(6\) 個の同じものを含む順列より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,6!\,}{\,3!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\,}&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1}\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&6 \cdot 5 \cdot 4\\[3pt]~~~&=&120\end{eqnarray}\)

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したがって、\(120\) 通りとなる

 
 

\({\small (2)}~\)\(a\) が \(f\) より左にある並べ方は、

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\(a\) と \(f\) を同じ文字 \(x\) として考えると、\(x~,~x~,~b~,~c~,~d~,~e\) の \(6\) 個の同じものを含む順列より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,6!\,}{\,2!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\,}&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1}\,}{\,\cancel{2} \cdot \cancel{1} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&360\end{eqnarray}\)

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同様に、\(b\) が \(e\) より右にある並べ方は、

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\(b\) と \(e\) を同じ文字 \(y\) として考えると、\(y~,~y~,~a~,~c~,~d~,~f\) の \(6\) 個の同じものを含む順列より、

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　\(\displaystyle \frac{\,6!\,}{\,2!\,}=360\) 通り

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全体の並べ方は、

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　\(6!=720\) 通り

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ここで、\(a\) が \(f\) より左 または \(b\) が \(e\) より右にある並べ方を求めるために、両方を満たす並べ方を求めると、

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\(a\) と \(f\) を同じ文字 \(x\)、\(b\) と \(e\) を同じ文字 \(y\) として考えると、\(x~,~x~,~y~,~y~,~c~,~d\) の \(6\) 個の同じものを含む順列より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,6!\,}{\,2!\cdot 2!\cdot 1!\cdot 1!\,}&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5 \cdot \cancel{4}^2 \cdot 3 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1}\,}{\,\cancel{2} \cdot 1 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1} \cdot 1 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&6 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&180\end{eqnarray}\)

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したがって、\(180\) 通りとなる