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問題｜確率と当たりくじの本数
場合の数と確率 36☆\(10\) 本のくじの中に当たりが何本が入っていて、\(2\) 本のくじを同時に引き \(2\) 本とも当たる確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,15\,}\) であるとき、当たりのくじの本数の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
確率と当たりくじの本数
Point：確率と当たりくじの本数
① 当たりくじの本数を \(n\) 本とし、確率を求める。
全事象が \({}_{10} {\rm C}_2=45\) 通り
当たりを \(2\) 本引く事象は、
\({}_n {\rm C}_2=\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\) 通り
よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,90\,}\)
② 確率の値から等式をつくり、\(n\) の値を求める。
\(\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,90\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,15\,}\) より、\(n=3\)
当たりくじの本数がわかっていないとき、
① 当たりくじの本数を \(n\) 本とし、確率を求める。
全事象が \({}_{10} {\rm C}_2=45\) 通り
当たりを \(2\) 本引く事象は、
\({}_n {\rm C}_2=\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\) 通り
よって、確率は \(\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,90\,}\)
② 確率の値から等式をつくり、\(n\) の値を求める。
\(\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,90\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,15\,}\) より、\(n=3\)
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詳しい解説｜確率と当たりくじの本数
場合の数と確率 36☆
\(10\) 本のくじの中に当たりが何本が入っていて、\(2\) 本のくじを同時に引き \(2\) 本とも当たる確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,15\,}\) であるとき、当たりのくじの本数の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
\(10\) 本のくじの中の当たりくじの本数を \(n\) 本とする（ただし、\(n\) は自然数）
\(10\) 本のくじから \(2\) 本引く組合せは、
\(\require{enclose}\begin{array}{c}
○~○~○~○~○~○~○~○~○~○
\\[-1pt]\downarrow
\\[-1pt]○~○
\end{array}\)
\({}_{10} {\rm C}_2\) 通りで、どの場合も同様に確からしい
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~{}_{10} {\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,10 \cdot 9\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{10}^5 \cdot 9\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&5 \cdot 9
\\[5pt]~~~&=&45\end{eqnarray}\)
\(n\) 本の当たりくじから \(2\) 本を引く組合せは、
\(\require{enclose}\begin{array}{ccc}
当たり\,n\,本&&はずれ
\\[-1pt]◎~◎~\cdots~◎& | & ○~○~\cdots~○
\\[-1pt]\downarrow & &
\\[-1pt]◎~◎ & &
\end{array}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{}_n {\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、確率は
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\,}{\,45\,}&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}2\,}{\,45{\, \small \times \,}2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,90\,}\end{eqnarray}\)
この確率が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,15\,}\) となるので
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,90\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,90\,}{\, \small \times \,}90&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,15\,}{\, \small \times \,}90
\\[5pt]~~~n(n-1)&=&6
\\[5pt]~~~n^2-n-6&=&0
\\[3pt]~~~(n+2)(n-3)&=&0
\\[3pt]~~~n&=&-2~,~3\end{eqnarray}\)
\(n\) は自然数より、\(n=3\)
したがって、当たりのくじは \(3\) 本となる
