独立試行の確率

\(1\) 個のさいころを投げたとき、すべての目の出方は \(6\) で、どの目の出方も同様に確からしい

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\(1\) 回目の試行 \(S\) で、\(3\) の倍数の目が出る事象 \(P(A)\)は、

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　\(A=\{\,3~,~6\,\}\)

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これより、

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\(\begin{eqnarray}~~~P(A)&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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\(2\) 回目の試行 \(T\) で、\(2\) の倍数の目が出る事象 \(P(B)\)は、

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　\(B=\{\,2~,~4~,~6\,\}\)

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これより、

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\(\begin{eqnarray}~~~P(B)&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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試行 \(S~,~T\) は互いに独立で、\(1\) 回目に \(3\) の倍数、\(2\) 回目に \(2\) の倍数が出る確率は、

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\(\begin{eqnarray}~~~P(A) {\, \small \times \,} P(B)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) となる

 
 

「少なくとも \(1\) 度は \(3\) の倍数が出る」の余事象は「\(1\) 度も \(3\) の倍数が出ない」となり、

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\(3\) の倍数が出ない目の数は、

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　\(\{\,1~,~2~,~4~,~5\,\}\)

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これより、

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　\(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)

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\(1\) 回目の試行 \(S\)、\(2\) 回目の試行 \(T\)、\(3\) 回目の試行 \(U\) は互いに独立で、それぞれの結果が互いに影響しないので、

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　\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}\)

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よって、少なくとも \(1\) 度は \(3\) の倍数が出る確率は、余事象の確率より、

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\(\begin{eqnarray}~~~1-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,27\,}&=&\displaystyle \frac{\,27-8\,}{\,27\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,19\,}{\,27\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,19\,}{\,27\,}\) となる