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問題｜反復試行の確率
場合の数と確率 46\(1\) 個のさいころを \(5\) 回続けて投げるとき、\(2\) 以下の目がちょうど \(3\) 回出る確率の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
反復試行の確率
Point：反復試行の確率
① 事象 \(A\) が起こる確率 \(p\) と起こらない確率 \(1-p\) を求める。
\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,n\,回 & Aが\,r\,回 & \overline{A}が\,n-r\,回 \\[5pt]
\hline
{}_n{\rm C}_r & p & 1-p
\end{array}\)
② 反復試行の確率の公式を用いる。
\({}_n{\rm C}_r \cdot p^r \cdot (1-p)^{n-r}\)
※ \(n\) 回中どこで \(r\) 回 \(A\) が起こるかの場合の数が \({}_n{\rm C}_r\) となる。
ある試行を \(n\) 回繰り返し行うとき、事象 \(A\) がちょうど \(r\) 回起こる確率は、
① 事象 \(A\) が起こる確率 \(p\) と起こらない確率 \(1-p\) を求める。
\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,n\,回 & Aが\,r\,回 & \overline{A}が\,n-r\,回 \\[5pt]
\hline
{}_n{\rm C}_r & p & 1-p
\end{array}\)
② 反復試行の確率の公式を用いる。
\({}_n{\rm C}_r \cdot p^r \cdot (1-p)^{n-r}\)
※ \(n\) 回中どこで \(r\) 回 \(A\) が起こるかの場合の数が \({}_n{\rm C}_r\) となる。
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詳しい解説｜反復試行の確率
場合の数と確率 46
\(1\) 個のさいころを \(5\) 回続けて投げるとき、\(2\) 以下の目がちょうど \(3\) 回出る確率の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
\(1\) 個のさいころを投げたとき、すべての目の出方は \(6\) で、どの目の出方も同様に確からしい
\(2\) 以下の目が出る事象 \(A\) は、
\(\{\,1~,~2\,\}\)
これより、
\(P(A)=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
また、\(2\) 以下の目が出ない事象 \(\overline{A}\) の確率は、
\(\begin{eqnarray}~~~P(\overline{A})=1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}&=&\displaystyle \frac{\,3-1\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、さいころを \(5\) 回投げて、\(2\) 以下の目がちょうど \(3\) 回出るのは、
\(\begin{array}{c|c|c}
合計\,5\,回 & Aが\,3\,回 & \overline{A}が\,2\,回 \\[5pt]
\hline
{}_5{\rm C}_3 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,} & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\end{array}\)
それぞれの試行は互いに独立であるので、反復試行の確率より、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&&{}_5{\rm C}_3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^3 {\, \small \times \,} \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 4 \cdot 3\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3^3\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^2\,}{\,3^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot \cancel{4}^2 \cdot \cancel{3}\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,2^2\,}{\,3^5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5 \cdot 2 \cdot 2^2\,}{\,3^5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,40\,}{\,243\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,40\,}{\,243\,}\) となる
