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問題｜区別できるorできないグループ分け
場合の数と確率 27\(9\) 人を部屋 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) に \(3\) 人ずつ入れる方法は何通りか？また、\(3\) 人ずつの \(3\) 組に分ける方法は何通りか？さらに、\(4\) 人、\(3\) 人、\(2\) 人に分ける分け方は何通りか？また、\(5\) 人、\(2\) 人、\(2\) 人に分ける分け方は何通りか？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
区別できるorできないグループ分け
Point：区別できるorできないグループ分け
① \(1\) つ \(1\) つのグループに入る人の組合せを考える。
\(9\) 人から \({\rm A}\) に \(3\) 人 → \({}_9{\rm C}_3\)
残り \(6\) 人から \({\rm B}\) に \(3\) 人 → \({}_6{\rm C}_3\)
残り \(3\) 人から \({\rm C}\) に \(3\) 人 → \({}_3{\rm C}_3\)
② 積の法則より、グループ分けの場合の数を求める。
\({}_9{\rm C}_3{\, \small \times \,}{}_6{\rm C}_3{\, \small \times \,}{}_3{\rm C}_3\) 通り
① 一度区別があるとして組合せで求める。
\({}_9{\rm C}_3{\, \small \times \,}{}_6{\rm C}_3{\, \small \times \,}{}_3{\rm C}_3\) 通り
② 同じ分け方がグループに (グループ数)！通りあるので、 (グループ数)！で割って、場合の数を求める。
\(\displaystyle \frac{\,{}_9{\rm C}_3{\, \small \times \,}{}_6{\rm C}_3{\, \small \times \,}{}_3{\rm C}_3\,}{\,3!\,}\) 通り
■ 区別のできるグループ分け
① \(1\) つ \(1\) つのグループに入る人の組合せを考える。
\(9\) 人から \({\rm A}\) に \(3\) 人 → \({}_9{\rm C}_3\)
残り \(6\) 人から \({\rm B}\) に \(3\) 人 → \({}_6{\rm C}_3\)
残り \(3\) 人から \({\rm C}\) に \(3\) 人 → \({}_3{\rm C}_3\)
② 積の法則より、グループ分けの場合の数を求める。
\({}_9{\rm C}_3{\, \small \times \,}{}_6{\rm C}_3{\, \small \times \,}{}_3{\rm C}_3\) 通り
■ 区別のできないグループ分け
① 一度区別があるとして組合せで求める。
\({}_9{\rm C}_3{\, \small \times \,}{}_6{\rm C}_3{\, \small \times \,}{}_3{\rm C}_3\) 通り
② 同じ分け方がグループに (グループ数)！通りあるので、 (グループ数)！で割って、場合の数を求める。
\(\displaystyle \frac{\,{}_9{\rm C}_3{\, \small \times \,}{}_6{\rm C}_3{\, \small \times \,}{}_3{\rm C}_3\,}{\,3!\,}\) 通り
※ \(5\) 人、\(2\) 人、\(2\) 人に分ける場合、すべてのグループは区別できるが \(2\) つの \(2\) 人グループの区別ができないので \(2!\) で割る。
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詳しい解説｜区別できるorできないグループ分け
場合の数と確率 27
\(9\) 人を部屋 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) に \(3\) 人ずつ入れる方法は何通りか？また、\(3\) 人ずつの \(3\) 組に分ける方法は何通りか？さらに、\(4\) 人、\(3\) 人、\(2\) 人に分ける分け方は何通りか？また、\(5\) 人、\(2\) 人、\(2\) 人に分ける分け方は何通りか？
高校数学A｜場合の数と確率
\(9\) 人を区別のある部屋 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) に \(3\) 人ずつ入れるので、
\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\,3人\,} & \boxed{\,3人\,} & \boxed{\,3人\,}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]{}_9{\rm C}_3 & {}_6{\rm C}_3 & {}_3{\rm C}_3
\end{array}\)
\(9\) 人中 \(3\) 人を \({\rm A}\) に入れる組合せは \({}_9{\rm C}_3\)
残り \(6\) 人中 \(3\) 人を \({\rm B}\) に入れる組合せは \({}_6{\rm C}_3\)
残り \(3\) 人を すべて \({\rm C}\) に入れる組合せは \({}_3{\rm C}_3\)
これらは同時に起こる（連続して起こる）ので、積の法則より、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&&{}_9{\rm C}_3{\, \small \times \,}{}_6{\rm C}_3{\, \small \times \,}{}_3{\rm C}_3\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot 8 \cdot 7\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5 \cdot 4\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,}{\, \small \times \,}1\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{9}^3 \cdot \cancel{8}^4 \cdot 7\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\cancel{6} \cdot 5 \cdot 4\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&3 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 4\\[3pt]~~~&=&1680\end{eqnarray}\)
したがって、\(1680\) 通りとなる
次に、\(3\) 人ずつ \(3\) 組に分ける方法は、
\(\begin{array}{ccc}
\boxed{\,3人\,} & \boxed{\,3人\,} & \boxed{\,3人\,}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]{}_9{\rm C}_3 & {}_6{\rm C}_3 & {}_3{\rm C}_3
\end{array}\)
どの組もそれぞれ \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) の区別がないので、同じ分け方が \(3!\) 通りずつ含まれるので、
※ \(1680\) 通りが \(6\) 組ずつ同じ分け方になっている。
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1680\,}{\,3!\,}&=&\displaystyle \frac{\,1680\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~&=&280\end{eqnarray}\)
したがって、\(280\) 通りとなる
\(4\) 人、\(3\) 人、\(2\) 人に分けるとき、人数の異なるグループでの区別ができているので、
\(\begin{array}{ccc}
\boxed{\,4人\,} & \boxed{\,3人\,} & \boxed{\,2人\,}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]{}_9{\rm C}_4 & {}_5{\rm C}_3 & {}_2{\rm C}_2
\end{array}\)
\(9\) 人中 \(4\) 人を \(1\) 組にする組合せは \({}_9{\rm C}_4\)
残り \(5\) 人中 \(3\) 人を \(1\) 組にする組合せは \({}_5{\rm C}_3\)
残り \(2\) 人をすべて \(1\) 組にする組合せは \({}_2{\rm C}_2\)
これらは同時に起こる（連続して起こる）ので、積の法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_9{\rm C}_4{\, \small \times \,}{}_5{\rm C}_3{\, \small \times \,}{}_2{\rm C}_2\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6\,}{\,4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5 \cdot 4 \cdot 3\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1\,}{\, \small \times \,}1\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot \cancel{8}^2 \cdot 7 \cdot \cancel{6}\,}{\,\cancel{4} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5 \cdot \cancel{4}^2 \cdot \cancel{3}\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&9 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2\\[3pt]~~~&=&1260\end{eqnarray}\)
したがって、\(1260\) 通りとなる
\(5\) 人のグループ \({\rm A}\) と \(2\) 人のグループ \({\rm B}\) 、\(2\) 人のグループ \({\rm C}\) に分けるとすると、
\(\begin{array}{ccc}
{\rm A} & {\rm B} & {\rm C}
\\[-3pt]\boxed{\,5人\,} & \boxed{\,2人\,} & \boxed{\,2人\,}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]{}_9{\rm C}_5 & {}_4{\rm C}_2 & {}_2{\rm C}_2
\end{array}\)
\(9\) 人中 \(5\) 人を \({\rm A}\) に入れる組合せは \({}_9{\rm C}_5\)
残り \(4\) 人中 \(2\) 人を \({\rm B}\) に入れる組合せは \({}_4{\rm C}_2\)
残り \(2\) 人をすべて \({\rm C}\) に入れる組合せは \({}_2{\rm C}_2\)
これらは同時に起こる（連続して起こる）ので、積の法則より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{}_9{\rm C}_5{\, \small \times \,}{}_4{\rm C}_2{\, \small \times \,}{}_2{\rm C}_2\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5\,}{\,5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4 \cdot 3\,}{\,2 \cdot 1\,}{\, \small \times \,}1\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot \cancel{8}^2 \cdot 7 \cdot \cancel{6} \cdot \cancel{5}\,}{\,\cancel{5} \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\cancel{4}^2 \cdot 3\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&9 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&756\end{eqnarray}\)
ここで、\(2\) 人のグループ \({\rm B}\) と \(2\) 人のグループ \({\rm C}\) は区別できない
よって、同じ分け方が \(2!\) 通りずつ含まれるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,756\,}{\,2!\,}&=&\displaystyle \frac{\,756\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&378\end{eqnarray}\)
したがって、\(378\) 通りとなる
