余事象の確率

\(10\) 本のくじから \(2\) 本を同時に引くとき、

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　\(\begin{array}{c}
○○○○○○○○○○
\\[-3pt]\downarrow
\\[-3pt]○○
\end{array}\)

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すべての場合の数は \({}_{10}{\rm C}_2\) 通りで、どの場合も同様に確からしい

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\(\begin{eqnarray}~~~{}_{10}{\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,10 \cdot 9\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10 \cdot 9\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&5 \cdot 9\\[3pt]~~~&=&45\end{eqnarray}\)

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ここで、「少なくとも \(1\) 本は当たる」の余事象は「\(2\) 本ともはずれ」である

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\(10\) 本中 \(7\) 本のはずれくじから \(2\) 本引くとき、

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　\(\begin{array}{ccc}
当たり & | & はずれ
\\[-3pt]◎◎◎ & | & ○○○○○○○
\\[-3pt]&& \downarrow
\\[-3pt]& & ○○
\end{array}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~{}_7{\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,7 \cdot 6\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7 \cdot 6\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&7 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&21\end{eqnarray}\)

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よって、確率は

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　\(\displaystyle \frac{\,21\,}{\,45\,}=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,15\,}\)

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これより、少なくとも \(1\) 本は当たる確率は、\(2\) 本ともはずれる確率の余事象の確率より、

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\(\begin{eqnarray}~~~1-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,15\,}&=&\displaystyle \frac{\,15-7\,}{\,15\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,15\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,15\,}\) となる

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