範囲が指定された倍数の要素の個数

\(100\) から \(200\) までの自然数のうち、\(2\) の倍数の集合 \(A\)は、

---

　\(A=\{\,2 \cdot 50~,~2 \cdot 51~,~\cdots~,~2 \cdot 100\,\}\)

---

これより、

---

　\(2 \cdot 1\) から \(2 \cdot 100\) までの \(100\) 個から、
　\(2 \cdot 1\) から \(2 \cdot 49\) までの \(49\) 個を引くので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~n(A)&=&100-49\\[3pt]~~~&=&51~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

 
 

\(3\) の倍数の集合 \(B\)は、

---

　\(B=\{\,3 \cdot 34~,~3 \cdot 35~,~\cdots~,~3 \cdot 66\,\}\)

---

これより、

---

　\(3 \cdot 1\) から \(3 \cdot 66\) までの \(66\) 個から、
　\(3 \cdot 1\) から \(3 \cdot 33\) までの \(33\) 個を引くので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~n(B)&=&66-33\\[3pt]~~~&=&33~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

 
 

\(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数の集合 \(A \cap B\)は、
\(6\) の倍数の集合であるので、

---

　\(A \cap B=\{\,6 \cdot 17~,~6 \cdot 18~,~\cdots~,~6 \cdot 33\,\}\)

---

これより、

---

　\(6 \cdot 1\) から \(6 \cdot 33\) までの \(33\) 個から、
　\(6 \cdot 1\) から \(6 \cdot 16\) までの \(16\) 個を引くので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~n(A \cap B)&=&33-16\\[3pt]~~~&=&17~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)

 
 

\(2\) の倍数または \(3\) の倍数の集合 \(A \cup B\) の要素の個数は、
\({\small [\,1\,]}\) から \({\small [\,3\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~n(A \cup B)&=&n(A)+n(B)-n(A \cap B)\\[3pt]~~~&=&51+33-17\\[3pt]~~~&=&67\end{eqnarray}\)