- 数学A｜場合の数と確率「順列を用いた確率」の基本例題解説ページです。
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問題｜順列を用いた確率
場合の数と確率 35大人 \(3\) 人、子ども \(2\) 人を一列に並べるとき、子ども \(2\) 人が隣り合う or 両端にくる確率の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
順列を用いた確率
Point：順列を用いた確率
① すべての場合の数を順列で求める。
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]5通り & 4通り & 3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)
これより、\(5!\) 通り
② 条件の事象が起こる場合の数を順列で求める。
子ども \(2\) 人が隣り合う場合の順列は、
\(4!{\, \small \times \,}2!\) 通り
③ 条件の事象÷全事象で確率を求める。
\(\displaystyle \frac{\,4!{\, \small \times \,}2!\,}{\,5!\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\)
順列を用いた確率は、
① すべての場合の数を順列で求める。
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]5通り & 4通り & 3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)
これより、\(5!\) 通り
② 条件の事象が起こる場合の数を順列で求める。
子ども \(2\) 人が隣り合う場合の順列は、
\(4!{\, \small \times \,}2!\) 通り
③ 条件の事象÷全事象で確率を求める。
\(\displaystyle \frac{\,4!{\, \small \times \,}2!\,}{\,5!\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\)
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詳しい解説｜順列を用いた確率
場合の数と確率 35
大人 \(3\) 人、子ども \(2\) 人を一列に並べるとき、子ども \(2\) 人が隣り合う or 両端にくる確率の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
大人 \(3\) 人、子ども \(2\) 人の合計 \(5\) 人を一列に並べる順列は、
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]5通り & 4通り & 3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)
\(5!\) 通りで、どの場合も同様に確からしい
子ども \(2\) 人が隣り合う確率は、
子ども \(2\) 人を \(1\) つのグループとし、残りの大人 \(3\) 人と \(4\) つのものの順列の
\(\begin{array}{cccc}
① & ② & ③ & ④
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow
\\[-1pt]4通り & 3通り & 2通り & 1通り
\end{array}\)
これより、\(4!\) となり、子ども \(2\) 人の順列が \(2!\) であるので、積の法則を用いると、
\(4!{\, \small \times \,}2!\) 通り
したがって、確率は、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~\displaystyle \frac{\,4!{\, \small \times \,}2!\,}{\,5!\,}&=&\displaystyle \frac{\,4!{\, \small \times \,}2 \cdot 1\,}{\,5 \cdot 4!\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{4!}{\, \small \times \,}2 \cdot 1\,}{\,5 \cdot \cancel{4!}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
子ども \(2\) 人が両端にくる確率は、
子ども \(2\) 人が両端に並ぶので、その入り方は、
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{///} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{\phantom{000}} & \boxed{///}
\\[-3pt]\uparrow & & & & \uparrow
\\[-1pt]2通り & & & & 1通り
\end{array}\)
これより、\(2!\) 通り
そのおののついて、間の②③④へ大人 \(3\) 人の並べ方は、
\(\begin{array}{ccccc}
① & ② & ③ & ④ & ⑤
\\[-3pt]\boxed{\phantom{000}} & \boxed{///} & \boxed{///} & \boxed{///} & \boxed{\phantom{000}}
\\[-3pt]& \uparrow & \uparrow & \uparrow &
\\[-1pt]& 3通り & 2通り & 1通り &
\end{array}\)
これより、\(3!\) 通り
よって、積の法則を用いると \(2!{\, \small \times \,}3!\) 通り
したがって、確率は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,2!{\, \small \times \,}3!\,}{\,5!\,}&=&\displaystyle \frac{\,2 \cdot 1 \cdot 3!\,}{\,5 \cdot 4 \cdot 3!\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \cdot 1 \cdot \cancel{3!}\,}{\,5 \cdot 4 \cdot \cancel{3!}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5 \cdot 4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5 \cdot 2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\end{eqnarray}\)
