- 数学A｜場合の数と確率「同じものを含む順列」の基本例題解説ページです。
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問題｜同じものを含む順列
場合の数と確率 28\(6\) つの文字 \(a~,~a~,~a~,~b~,~b~,~c\) のすべてを一列に並べる並べ方は何通りか？また、\(7\) つの文字 \(a~,~a~,~a~,~b~,~b~,~c~,~d\) のすべてを一列に並べる並べ方は何通りか？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
同じものを含む順列
Point：同じものを含む順列
\(a\) が \(p\) 個、\(b\) が \(q\) 個、\(c\) が \(r\) 個の合計 \(n\) 個を一列に並べる並べ方は、
\(\displaystyle \frac{\,n!\,}{\,p!\cdot q!\cdot r!\,}\) ただし、\(n=p+q+r\)
※ 文字の種類が \(4\) 種類以上でも同様に成り立つ。
■ 同じものを含む順列
\(a\) が \(p\) 個、\(b\) が \(q\) 個、\(c\) が \(r\) 個の合計 \(n\) 個を一列に並べる並べ方は、
\(\displaystyle \frac{\,n!\,}{\,p!\cdot q!\cdot r!\,}\) ただし、\(n=p+q+r\)
※ 文字の種類が \(4\) 種類以上でも同様に成り立つ。
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詳しい解説｜同じものを含む順列
場合の数と確率 28
\(6\) つの文字 \(a~,~a~,~a~,~b~,~b~,~c\) のすべてを一列に並べる並べ方は何通りか？また、\(7\) つの文字 \(a~,~a~,~a~,~b~,~b~,~c~,~d\) のすべてを一列に並べる並べ方は何通りか？
高校数学A｜場合の数と確率
\(a\) が \(3\) 個、\(b\) が \(2\) 個、\(c\) が \(1\) 個の合計 \(6\) 個であるので、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~\displaystyle \frac{\,6!\,}{\,3!\cdot 2!\cdot 1!\,}&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1 \cdot 2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5 \cdot 4\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5 \cdot \cancel{4}^2\,}{\,\cancel{2}\,}\\[5pt]~~~&=&6 \cdot 5 \cdot 2\\[3pt]~~~&=&60\end{eqnarray}\)
したがって、\(60\) 通りとなる
\(a\) が \(3\) 個、\(b\) が \(2\) 個、\(c\) が \(1\) 個、\(d\) が \(1\) 個の合計 \(7\) 個であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,7!\,}{\,3!\cdot 2!\cdot 1!\cdot 1!\,}&=&\displaystyle \frac{\,7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\,}{\,3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}{\,\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1 \cdot 2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4}^2\,}{\,\cancel{2}\,}\\[5pt]~~~&=&7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 2\\[3pt]~~~&=&420\end{eqnarray}\)
したがって、\(420\) 通りとなる
