少なくとも1人を選ぶ組合せ

大人 \(6\) 人から \(2\) 人選ぶ組合せは \({}_6{\rm C}_2\) と、子ども \(4\) 人から \(2\) 人選ぶ組合せは \({}_4{\rm C}_2\) となり、同時に起こるので、積の法則より、

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　\(\begin{array}{cc}
大人 & 子ども
\\[-3pt]\boxed{\,2人\,} & \boxed{\,2人\,}
\\[-3pt]\uparrow & \uparrow
\\[-1pt]{}_6{\rm C}_2 & {}_4{\rm C}_2
\end{array}\)

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\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~{}_6{\rm C}_2{\, \small \times \,}{}_4{\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5\,}{\,2 \cdot 1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4 \cdot 3\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{6}^3 \cdot 5\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\cancel{4}^2 \cdot 3\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&90\end{eqnarray}\)

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したがって、\(90\) 通りとなる

 
 

すべての選び方は、大人 \(6\) 人子ども \(4\) 人の合計 \(10\) 人の中から \(4\) 人を選ぶので、

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\(\begin{eqnarray}~~~{}_{10}{\rm C}_4&=&\displaystyle \frac{\,10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7\,}{\,4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10 \cdot \cancel{9}^3 \cdot \cancel{8}^1 \cdot 7\,}{\,\cancel{4} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&10 \cdot 3 \cdot 7\\[3pt]~~~&=&210\end{eqnarray}\)

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次に、子どもが \(1\) 人も選ばれないとき、大人 \(6\) 人から \(4\) 人選ぶので、

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\(\begin{eqnarray}~~~{}_6{\rm C}_4&=&{}_6{\rm C}_2\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{6}^3 \cdot 5\,}{\,\cancel{2} \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&15\end{eqnarray}\)

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よって、子どもが少なくとも \(1\) 人選ばれる選び方は、

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　\(210-15=195\) 通り

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したがって、\(195\) 通りとなる

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