- 数学A｜場合の数と確率「自分のものを受け取らない順列(完全順列)」の基本例題解説ページです。
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問題｜自分のものを受け取らない順列(完全順列)
場合の数と確率 16☆\({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) の \(4\) 人がプレゼント交換をするとき、\(4\) 人とも他の人のプレゼントを受け取る場合の数の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
自分のものを受け取らない順列(完全順列)
Point：自分のものを受け取らない順列(完全順列)
\({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) の \(4\) 人のプレゼントを \(a~,~b~,~c~,~d\) として、樹形図をつくる。
※ \({\rm C}\) の枠に \(c\) など自分のプレゼントを受け取る場合は不適である。
\(\begin{array}{cccccccc}
{\rm A} & & {\rm B} & & {\rm C} & & {\rm D} &
\\b & – & a & – & c & – & d & {\small \times}
\\& & & {\scriptsize ╲} & d & – & c & ○
\\[3pt]& {\scriptsize ╲} & c & – & a & – & d & {\small \times}
\\& & & {\scriptsize ╲} & d & – & a & ○
\\[3pt]& {\scriptsize ╲} & d & – & a & – & c & ○
\\& & & {\scriptsize ╲} & c & – & a & {\small \times}
\end{array}\)
\({\rm A}-c\) や \({\rm A}-d\) の場合も同様に樹形図をつくり、場合の数を求める。
自分のプレゼントを受け取らない場合の数は、
\({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) の \(4\) 人のプレゼントを \(a~,~b~,~c~,~d\) として、樹形図をつくる。
※ \({\rm C}\) の枠に \(c\) など自分のプレゼントを受け取る場合は不適である。
\(\begin{array}{cccccccc}
{\rm A} & & {\rm B} & & {\rm C} & & {\rm D} &
\\b & – & a & – & c & – & d & {\small \times}
\\& & & {\scriptsize ╲} & d & – & c & ○
\\[3pt]& {\scriptsize ╲} & c & – & a & – & d & {\small \times}
\\& & & {\scriptsize ╲} & d & – & a & ○
\\[3pt]& {\scriptsize ╲} & d & – & a & – & c & ○
\\& & & {\scriptsize ╲} & c & – & a & {\small \times}
\end{array}\)
\({\rm A}-c\) や \({\rm A}-d\) の場合も同様に樹形図をつくり、場合の数を求める。
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詳しい解説｜自分のものを受け取らない順列(完全順列)
場合の数と確率 16☆
\({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) の \(4\) 人がプレゼント交換をするとき、\(4\) 人とも他の人のプレゼントを受け取る場合の数の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
\(4\) 人のプレゼントをそれぞれ \(a~,~b~,~c~,~d\) とすると、自分のプレゼントは受け取らないので、
A が \(b\) を受け取るとき、
\(\begin{array}{ccccccc}
{\rm A} & & {\rm B} & & {\rm C} & & {\rm D}
\\[3pt]b & – & a & – & d & – & c
\\& {\scriptsize ╲} & c & – & d & – & a
\\& {\scriptsize ╲} & d & – & a & – & c
\end{array}\)
A が \(c\) を受け取るとき
\(\begin{array}{ccccccc}
{\rm A} & & {\rm B} & & {\rm C} & & {\rm D}
\\[3pt]c & – & a & – & d & – & b
\\& {\scriptsize ╲} & d & – & a & – & b
\\& & & {\scriptsize ╲} & b & – & a
\end{array}\)
A が \(d\) を受け取るとき
\(\begin{array}{ccccccc}
{\rm A} & & {\rm B} & & {\rm C} & & {\rm D}
\\[3pt]d & – & a & – & b & – & c
\\& {\scriptsize ╲} & c & – & a & – & b
\\& & & {\scriptsize ╲} & b & – & a
\end{array}\)
これより、\(3+3+3=9\) 通り
したがって、\(9\) 通り
