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問題｜重複組合せと整数の組
場合の数と確率 31☆\({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) の \(3\) 種類のケーキから重複を許して \(5\) 個取る組合せは何通りか？また、\(x+y+z=7\) を満たす \(0\) 以上の整数 \(x~,~y~,~z\) の組合せは何通りか？さらに、自然数 \(x~,~y~,~z\) の組合せは何通りか？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
重複組合せと整数の組
Point：重複組合せ
① 取り出すものを \(○\) 、種類を仕切る仕切りを \(|\) とする。
\(\begin{array}{ccccc}
○○ & | & ○○ & | & ○
\\[-3pt]{\rm A} & & {\rm B} & & {\rm C}
\end{array}\)
② \(5\) 個の \(○\) と \(2\) 本の \(|\) の順列として、\(7\) か所から \(|\) を入れる \(2\) か所を選ぶ組合せに等しい。
組合せ \({}_7{\rm C}_2\) 通り
または、同じものを含む順列としても求められる。
\(\displaystyle \frac{\,7!\,}{\,5!\cdot 2!\,}\) 通り
\({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) の \(3\) 種類のものから重複を許して \(5\) 個取る組合せは、
① 取り出すものを \(○\) 、種類を仕切る仕切りを \(|\) とする。
\(\begin{array}{ccccc}
○○ & | & ○○ & | & ○
\\[-3pt]{\rm A} & & {\rm B} & & {\rm C}
\end{array}\)
② \(5\) 個の \(○\) と \(2\) 本の \(|\) の順列として、\(7\) か所から \(|\) を入れる \(2\) か所を選ぶ組合せに等しい。
組合せ \({}_7{\rm C}_2\) 通り
または、同じものを含む順列としても求められる。
\(\displaystyle \frac{\,7!\,}{\,5!\cdot 2!\,}\) 通り
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Point：整数の組と重複組合せ
\(7\) 個の \(○\) と仕切り \(2\) 本の \(|\) の重複組合せとして考える。
\(\begin{array}{ccccccc}
○○ & | & ○○○ & | & ○○
\\[-3pt]x & & y & & z
\end{array}\)
これより、\({}_9{\rm C}_2=\displaystyle \frac{\,9!\,}{\,7!\cdot 2!\,}\) 通り
それぞれ \(1\) つ以上の \(○\) を取るので、残りの \(4\) 個の \(○\) と仕切り \(2\) 本の \(|\) の重複組合せとして考える。
\(\begin{array}{ccccc}
○○ & | & ○ & | & ○○
\\[-3pt]x & & y & & z
\end{array}\)
これより、\({}_6{\rm C}_2=\displaystyle \frac{\,6!\,}{\,4!\cdot 2!\,}\) 通り
等式 \(x+y+z=7\) を満たす \(0\) 以上の整数 \(x~,~y~,~z\) の組合せは、
\(7\) 個の \(○\) と仕切り \(2\) 本の \(|\) の重複組合せとして考える。
\(\begin{array}{ccccccc}
○○ & | & ○○○ & | & ○○
\\[-3pt]x & & y & & z
\end{array}\)
これより、\({}_9{\rm C}_2=\displaystyle \frac{\,9!\,}{\,7!\cdot 2!\,}\) 通り
等式 \(x+y+z=7\) を満たす自然数 \(x~,~y~,~z\) の場合は、
それぞれ \(1\) つ以上の \(○\) を取るので、残りの \(4\) 個の \(○\) と仕切り \(2\) 本の \(|\) の重複組合せとして考える。
\(\begin{array}{ccccc}
○○ & | & ○ & | & ○○
\\[-3pt]x & & y & & z
\end{array}\)
これより、\({}_6{\rm C}_2=\displaystyle \frac{\,6!\,}{\,4!\cdot 2!\,}\) 通り
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詳しい解説｜重複組合せと整数の組
場合の数と確率 31☆
\({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) の \(3\) 種類のケーキから重複を許して \(5\) 個取る組合せは何通りか？また、\(x+y+z=7\) を満たす \(0\) 以上の整数 \(x~,~y~,~z\) の組合せは何通りか？さらに、自然数 \(x~,~y~,~z\) の組合せは何通りか？
高校数学A｜場合の数と確率
取る \(5\) 個のケーキを \(○\) 、種類を仕切る \(2\) 本の仕切りを \(|\) とすると、
\(\begin{array}{ccccc}
○○ & | & ○○ & | & ○
\\[-3pt]{\rm A} & & {\rm B} & & {\rm C}
\end{array}\)
よって、この組合せは、\(7\) か所に仕切り \(|\) を \(2\) 本入れる組合せに等しいので、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~{}_7{\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,7 \cdot 6\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7 \cdot \cancel{6}^3\,}{\,\cancel{2}^1 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&7 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&21\end{eqnarray}\)
したがって、\(21\) 通りとなる
【別解】\(○\) が \(5\) 個、\(|\) が \(2\) 個の合計 \(7\) 個の同じものを含む順列より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,7!\,}{\,5!\cdot 2!\,}&=&\displaystyle \frac{\,7 \cdot 6 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1}\,}{\,\cancel{5} \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{1} \cdot 2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7 \cdot 6\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&7 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&21\end{eqnarray}\)
\(7\) 個の整数を \(○\) 、種類を仕切る \(2\) 本の仕切りを \(|\) とすると、
\(\begin{array}{ccccccc}
○○ & | & ○○○ & | & ○○
\\[-3pt]x & & y & & z
\end{array}\)
よって、この組合せは、\(9\) か所に仕切り \(|\) を \(2\) 本入れる組合せに等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~{}_9{\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot 8\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot \cancel{8}^4\,}{\,\cancel{2}^1 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&9 \cdot 4\\[3pt]~~~&=&36\end{eqnarray}\)
したがって、\(36\) 通りとなる
【別解】\(○\) が \(7\) 個、\(|\) が \(2\) 個の合計 \(9\) 個の同じものを含む順列より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,9!\,}{\,7!\cdot 2!\,}&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot 8 \cdot \cancel{7!}\,}{\,\cancel{7!} \cdot 2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9 \cdot 8\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&9 \cdot 4\\[3pt]~~~&=&36\end{eqnarray}\)
自然数 \(x{\small ~≧~}1~,~y{\small ~≧~}1~,~z{\small ~≧~}1\) の場合は、
それぞれ \(1\) つ以上の \(○\) を取るので、残りの \(4\) 個の整数を \(○\) 、種類を仕切る \(2\) 本の仕切りを \(|\) とすると、
\(\begin{array}{ccccc}
○○ & | & ○ & | & ○○
\\[-3pt]x & & y & & z
\end{array}\)
よって、この組合せは、\(6\) か所に仕切り \(|\) を \(2\) 本入れる組合せに等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~{}_6{\rm C}_2&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5\,}{\,2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cancel{6}^3 \cdot 5\,}{\,\cancel{2}^1 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&3 \cdot 5\\[3pt]~~~&=&15\end{eqnarray}\)
したがって、\(15\) 通りとなる
【別解】\(○\) が \(4\) 個、\(|\) が \(2\) 個の合計 \(6\) 個の同じものを含む順列より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,6!\,}{\,4!\cdot 2!\,}&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!}\,}{\,\cancel{4!} \cdot 2 \cdot 1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 5\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&3 \cdot 5\\[3pt]~~~&=&15\end{eqnarray}\)
