- 数学A｜場合の数と確率「排反事象でない和事象の確率」の基本例題解説ページです。
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問題｜排反事象でない和事象の確率
場合の数と確率 40\(1\) 〜 \(100\) までの番号が書かれたカードから \(1\) 枚引くとき、その番号が \(2\) の倍数または \(3\) の倍数である確率の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
解法のPoint
排反事象でない和事象の確率
Point：排反事象でない和事象の確率
① \(2\) つの確率 \(P(A)~,~P(B)\) と、積事象の確率 \(P(A \cap B)\) を求める。
② 和事象の確率 \(P(A \cup B)\) を求める。
\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)
\(2\) つの事象 \(A~,~B\) が排反でないとき、和事象 \(A \cup B\) の確率は、
① \(2\) つの確率 \(P(A)~,~P(B)\) と、積事象の確率 \(P(A \cap B)\) を求める。
② 和事象の確率 \(P(A \cup B)\) を求める。
\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)
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詳しい解説｜排反事象でない和事象の確率
場合の数と確率 40
\(1\) 〜 \(100\) までの番号が書かれたカードから \(1\) 枚引くとき、その番号が \(2\) の倍数または \(3\) の倍数である確率の求め方は？
高校数学A｜場合の数と確率
\(1\) 〜 \(100\) までの番号が書かれたカードから \(1\) 枚引くとき、
すべての場合の数は \(100\) 通りで、どの場合も同様に確からしい
\(2\) の倍数の事象 \(A\)は、
\(A=\{\,2 \cdot 1~,~2 \cdot 2~,~2 \cdot 3~,~\cdots~,~2 \cdot 50\,\}\)
\(2 \cdot 1\) 〜 \(2 \cdot 50\) までの \(50\) 通りなので、
\(P(A)=\displaystyle \frac{\,50\,}{\,100\,}\)
※ あとで和や差の計算をするので、約分はせずに分母を全事象 \(100\) のままにしておく。
\(3\) の倍数の事象 \(B\)は、
\(B=\{\,3 \cdot 1~,~3 \cdot 2~,~3 \cdot 3~,~\cdots~,~3 \cdot 33\,\}\)
\(3 \cdot 1\) 〜 \(3 \cdot 33\) までの \(33\) 通りなので、
\(P(B)=\displaystyle \frac{\,33\,}{\,100\,}\)
ここで、\(A\) と \(B\) は互いに排反でないので、積事象 \(A \cap B\) は、\(6\) の倍数となり、
\(A \cap B=\{\,6 \cdot 1~,~6 \cdot 2~,~6 \cdot 3~,~\cdots~,~6 \cdot 16\,\}\)
\(6 \cdot 1\) 〜 \(6 \cdot 16\) までの \(16\) 通りなので、
\(P(A \cap B)=\displaystyle \frac{\,16\,}{\,100\,}\)
よって、\(2\) の倍数または \(3\) の倍数は和事象 \(A \cup B\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~P(A \cup B)&=&P(A)+P(B)-P(A \cap B)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,50\,}{\,100\,}+\displaystyle \frac{\,33\,}{\,100\,}-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,100\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,50+33-16\,}{\,100\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,67\,}{\,100\,}\end{eqnarray}\)
したがって、確率は \(\displaystyle \frac{\,67\,}{\,100\,}\) となる
